高等数学曲线积分与曲面积分习题课.ppt

例5 计算 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧. 提示: 例 6 计算 其中? 由平面 y = z 截球面 提示: 因在 ? 上有 故 原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 十、曲面积分的计算法 1. 基本方法 曲面积分 第一类( 对面积 ) 第二类( 对坐标 ) 转化 二重积分 (1) 选择积分变量 — 代入曲面方程 (2) 积分元素投影 第一类: 始终非负 第二类: 有向投影 (3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ? 上连续, 存在, 且有 对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 例7 解 ? 若 则有 ? 若 则有 (前正后负) (右正左负) 对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号 (上正下负) 则有 ? 若 解: 把 ? 分为上下两部分 根据对称性 思考: 下述解法是否正确: 例8. 计算曲面积分 其中 ? 为球面 外侧在第一和第五卦限部分. 例9 解 上一页 下一页 返回 第八章 曲线积分与曲面积分 习题课 一、主要内容 二、线、面 积分的基本计算法 一、对弧长的曲线积分的概念 1.定义 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 2.存在条件： 3.推广 注意： 二、对弧长的曲线积分的性质 三、对坐标的曲线积分的概念 1.定义 类似地定义 2.存在条件： 3.组合形式 4.推广 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 四、对坐标的曲线积分的性质 五、对面积的曲面积分的定义 1.定义 六、对面积的曲面积分的性质 基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典型双侧曲面 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 播放 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 七、对坐标的曲面积分的定义 被积函数 积分曲面 类似可定义 存在条件: 组合形式: 物理意义: 八、对坐标的曲面积分的性质 九、曲线积分的计算法 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) (1) 选择积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 对弧长曲线积分的计算 定理 注意: 特殊情形 推广: 例1 解 例2 解 例3 解 例4 解 由对称性, 知 对坐标的曲线积分的计算 定理 特殊情形 上一页 下一页 返回