高等院校数学-教案-第五章二次型第四节.pptVIP

主要内容 正定二次型的定义 第四节 正定二次型 实二次型正定性的判别方法 实二次型的其他类型及其判别法 正定矩阵的应用举例 一、正定二次型的定义 在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 因 为正定二次型与正定矩阵在工程技术和最优化等问 题中有着广泛的应用，讨论多元函数极值的充分条 件也要用到它. 在这一节中，我们给出它的定义以 及常用的判别条件. 1. 定义 定义 7 实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 称为正 定的，如果对于任意一组不全为零的实数 c1 , c2 , … , cn 都有 f ( c1 , c2 , … , cn ) 0 . 2. 两个基本结论 1) 实二次型 正定的充分必要条件是 di 0 , i = 1, 2, … , n . 2) 非退化实线性替换保持正定性不变. 二、实二次型正定性的判别方法 定理 6 n 元实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 是正 定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n . 证明 设二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 经过非退 化实线性替换变成标准形 d1x12 + d2x22 + … + dnxn2 1. 惯性指数法 由前面讨论的基本结论 1 知，该标准形是正定的当 且仅当 di 0 , i =1, 2, … , n , 即正惯性指数为 n . 再 由基本结论 2 即得. 证毕 定理 6 说明，正定二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 的 规范形为 y12 + y22 + … + yn2 . 定义 8 实对称矩阵 A 称为正定的，如果二 次型 XTAX 正定. 因为二次型 x12 + x22 + … + xn2 的矩阵是单位 矩阵 E，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它 与单位矩阵合同，由此得： 推论 1 实对称矩阵 A 正定的充分必要条件 是存在可逆矩阵 C，使得 A = CTC. 证明 设 A 为实对称矩阵，则由 实对称矩阵 A 正定 等价 实二次型 XTAX 正定 等价 实二次型 XTAX 的规范型是 x12 + x22 + … + xn2 实二次型 XTAX 的规范型是 x12 + x22 + … + xn2 等价 存在可逆矩阵 C，使 A = CTEC = CTC . 矩阵 A 与 E 合同 等价 证毕 有 推论 2 正定矩阵的行列式大于零. 证明 设 A 是一正定矩阵，则由推论 1 知， 存在可逆矩阵 C，使 A = CTC . 两边取行列式，就有 | A | = | CT | | C | = | C |2 0 . 证毕 例 1 证明：若 A 是正定矩阵，则 A-1 也是正 定的. 证明 由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对 称矩阵， 由推论 2 知，正定矩阵 A 是可逆的， 且 ( A-1 )T = ( AT )-1 = A-1 ， 所以 A-1 也是实对称矩阵. 证明其正定性的方法很 多. 例 2 用惯性指数法判断三元二次型 是否是正定二次型. 2. 顺序主子式法 有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个 二次型是不是正定的，而不希望通过它的标准形或 规范形. 下面来解决这个问题. 为此，引入 定义 9 子式 称为矩阵 A = ( aij )nn 的顺序主子式. 定理 7 实二次型 是正定的充分必要条件为矩阵 A 的顺序主子式全 大于零. 证明 先证必要性 设二次型 是正定的. 对于每个 k ，1 ? k ? n , 令 我们来证 fk 是一个 k 元的正定二次型. 对于任意一 组不全为零的实数 c1 , … , ck 有 因此 是正定的. 由 fk 的矩阵的行列式 这就证明了矩阵 A 的顺序主子式全大于零. 再证充分性 对 n 作数学归纳法. 当 n = 1 时， f ( x1 ) = a11x12 , 由条件 a11 0 显然有 f ( x1 ) 是正定的. 假设充分性的论断对于 n - 1 元二次型已成立, 现在来证 n 元的情形. 令 于是矩阵 A 可以分块成 既然 A 的顺序主子式全大于零，当然 A1 的顺 序主子式也全大于零. 由归纳法假设，A1 是正定 矩阵，换句话说，有可逆的 n - 1 级矩阵 G 使 GTA1G = En - 1 , 这里 En - 1 代表 n - 1 级单位矩阵. 令 于是 再令 有 令 C = C1C2 , ann - ?TGGT? = a , 就有 两边取行列式， | C |2 | A | = a . 由条件 | A | 0 得 a 0 . 这就说明，矩阵 A 与单 位矩阵合同，所以，A 是正定矩阵，或者说二次 型 是正定的. 充分性得证. 证毕 例