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吉林大学 数学科学院 数学教学中心 讲课教师 陈殿友 术洪亮 课件制作 徐红敏 杨泰山 线性代数 （第三版） 同济大学数学教研室 编 课程的性质 线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的必修课。 内容与任务 线性代数是研究有限维线性空间及其线性变换的基本理论，包括行列式、矩阵及矩阵的初等变换、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。 既有一定的理论推导、又有大量的繁杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和动手解决问题的能力。 用途与特点 线性代数理论不仅为学习后续课程奠定必要的数学基础，而且在工农业生产如国防技术中有着广泛的应用，是理工科大学生的一门重要的数学基础课。该课程的特点是：公式多，式子大，符号繁，但规律性强，课程内容比较抽象，需要学生具备一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，分析问题能力和动手解决实际问题的能力。 学习与要求 为学好这门课程，要求学生要认真上好每一节课，深刻理解每一节课的基本理论，熟练掌握每一节课的重点内容，熟练运用知识点解题，能够收到举一反三，触类旁通的效果。 第一章???行列式 §1 阶行列式的定义 1、?二元线性方程组 用消元法求解，得：  当 时， 求得方程组有唯一解： 引入二阶行列式 方程组的解可以写成： 二阶行列式的计算 例如 例 解二元线性方程组 求解方程 2. 三元线性方程组 用消元法可求得，当 三元线性方程组有唯一解： 其中： 三阶行列式的定义 例如 三阶行列式的计算 例 解 三元线性方程组 3. n元线性方程组 构造： 提出三个问题 二、全排列及其逆序数 1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即： 123，231，312，132，213，321 一般地，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 这是一个全排列问题。从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法； 在从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法； 于是： 2. 逆序数 对于n个不同的元素，可规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序）。于是，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的前后次序与标准次序不同时，就说产生了一个逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序数。逆序数是奇数的排列叫做奇排列，逆序数是偶数的排列叫做偶排列。 3. 逆序数的计算方法 如果比 大的，且排在 前面的元素有 个， 说这个元素的逆序是 个，全体元素逆序之和 即是 的逆序数， 例如，设排列3 2 5 1 4,其逆序数为： t=1+3+0+1+0=5 当我们把上面排列改为 3 1 5 2 4，相当于把3 2 5 1 4 这个排列的第2、4两个数码对换（将一个排列中任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换）。通过计算可知 3 1 5 2 4 的逆序数为 t=1+2+0+1+0=4 可见排列 3 2 5 1 4 为奇排列，而 3 1 5 2 4 为偶排列，可见一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 三、n阶行列式的定义 这样的排列共有n!个，所有这些项的代数 和称为n阶行列式。记为: 行列式的其他定义 另一种定义形式为: 四、几种特殊的行列式 （1） 对角行列式 （2） 下（上）三角行列式 （3）?????? 作业 习题一 1. （1）（3） 2. （1）（2）（5) 定义1 设有n2个数，排成n行n列的数表 作出表中位于不同行不同列的n个数的 乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如 的项，其中 为自然数1，2，…n， 的一个排列，t 为这个排列的逆序数。 也可记为: 同理，也可以定义为: ?其中 ， * * 本章主要介绍n阶行列式的定义，