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变速直线运动的路程 匀速直线运动的路程： 变速直线运动 O t v (1) 把 这段时间间隔分割成许多小段，当小段足够短时，在每小段时间内的速度都可以近似地看成是不变的。 §0.4 定积分 一、物理中的实例 (2) 总的路程 讨论：几何意义 O t v 就分别是图中那些窄长矩形的面积 所有这些矩形面积的总和（阶梯形） 越短，越接近实际情况 当 n 愈来愈大， 愈来愈小的时候，阶梯状图形的面积就愈来愈接近曲线下的面积。 O t v 是自变量从 到 时，原函数的增量 s是原函数， v是导函数 若y是v的一个原函数，则 当 时 故 于是 例3 若在 轴上有质量为 M 的物体与劲度系数为 的弹簧组成的振子，坐标轴以物体的平衡位置 O 为原点。求物体由原点移动到坐标为 处的过程中，弹性力对物体作的功。 弹簧振子 解：在任意位置处物体受到的弹性力 经过一段微小路程，弹性力对物体作的功 自原点移至 处弹性力对物体作的功等于在各段 微路程上所作功之和 练习 推导匀变速直线运动的路程公式 解： §0.5 矢量运算 矢量的概念起源于对运动和 力的研究。力和速度等物理 量需要用其大小和方向来表示 依据事物自身的规律，按矢 量运算规则运算的量叫矢量 大小为矢量的模， 记为 ? 长度为零的矢量 叫零矢量 ? 长度为1的矢量叫 单位矢量，记 单位矢量用来表示 空间的方向 ? 大小相等、方向相反的矢量 互为负矢量，如 与 ? 一. 矢量在空间没有固定的位置，不依赖于任何坐标系而存在，因此可以自由滑行到任何地方——矢量的平移对称性。 二.矢量的加法与数乘规则 1) 2) 3) 加法交换律 加法结合律 数乘结合律 数乘分配律 4) 矢量可由单位矢量与标量数的乘积 可移到一条直线上的矢量 三.直角坐标中的矢量，位矢和速度 为三坐标轴的单位矢量 矢量与三个轴的夹角为 的单位矢量 方向余弦 矢量的方向余弦满足： 例1 求矢量 的方向余弦 解 按坐标轴分解后的矢量可用三个标量表示和运算 ※质点的位矢和位移 点的位矢 位移 ※矢量的微商、速度 如果极限 存在，此极限就是矢量函数 在自变量为 时的微商，记为 注意：矢量的微商仍是矢量 质点位置函数的时变率即质点的速度，速度为矢量。 速度的方向：位置函数空间曲线的任意点切线方向。 四.矢量的点乘(标量积) 点乘运算规则 点乘的常用性质还有 1) 2) 3) 直角坐标系中 4) 按点乘分配律 有 五.矢量的叉乘(矢量积) 叉乘的运算规则 为了描述物理中的一些现象，设计了一类矢量，分别垂直于两个给定的矢量.于是发展了一类特殊的乘积——叉乘.叉乘用 表示,其积为矢量,所以叫矢量积. 若 是交角为 的两个矢量,则叉乘定义为 是单位矢量,垂直于 两矢量所在的平面，指向由右手螺旋定则确定. 右手系:将右手拇指伸直,其余四指并拢指向的 方向,并沿 的计算方向弯向 ,拇指所指的方向就是 的方向. 设想有以 和 为一对邻边的平行四边形，其面积可表为 则 叉乘之值是以两矢量为邻边构成的平行四边形的面积. 叉乘的运算规则 1) 叉乘的反交换律 2) 叉乘与数乘的结合律 3) 叉乘的分配律 4) 叉乘可得 同向和反向(平行)的充分必要条件 注意的是，无穷小量是函数的极限而不是数量0，是指自变量在一定变动方式下其极限为数量0，称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋势。例如ｘ＾２－４是ｘ→2时的无穷小量，而不能笼统说ｘ＾２－４是无穷小量。 * 增量之比：表示函数在这一段变量区间内的平均变化率。 * 无穷小量：小得不能再小的量，但又不精确的等于零。 * 利用乘法法则，可以很容易的递推出幂函数的微商，即前面提到的指数法则。所以指数法则可以认为是乘法法则的一个重要推论。 * 同样的，利用乘法法则能够获得函数的倒数的导数的普遍公式。 * 加法、乘法和链锁法则是通用法则，而指数和倒数法则是乘法法则的重要结论。 * * 极限是一个重要的物理概念。通过一些较简单的物理过程，可以得到某些直观的印象，但不能代替数学中极限的精确论述。 如函数 该式分子分母都是零，函数没有直观意义 但考虑 时函数的特点 §0.1 极限 一. 极限的表述 在自变量x 无限趋近某一数值x0 （记作 ）时，函数 f (x) 的数值无限趋近某一确定的数值A ，则A 是函数 f (x) 在 x 趋于 x0 的极限值，记作 则 令 §0.2 微商与微分 微商是从大量实际问题为背景提炼出来的一种函数运算的极限，它与物理学的许多基本规律和基本物理量的定义有密切的