6重积分的换元法.ppt-DrHuang.ppt

解 该曲面关于yz平面和xz平面对称，且位于xy平面上方，故只需计算在第一卦限中?1的体积V1，则 做变换T： 则曲面方程为 例12 计算曲面 所围成的立体体积V. 而在第一卦限中， 所以曲面方程可表示为 且 故 基本要求:变换后定限简便，求积容易． 40.广义极坐标变换 广义球坐标变换 解 P1(1) 练习题及解答 P221-1(3) P222-2(2) 求区域D的面积A。（此例与例4类似） 解 P3证明 P5： 试计算椭球体 解1: 由对称性 令 则D 的原象为 的体积V. 解法2：用广义球坐标变换 x = a? sin? cos ? y=b ? sin? sin ? z = c? cos ? 中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 第7章 多元函数积分学 高等数学A 7.1.4 重积分的换元法 7.1 重积分 7.1 重积分7.1.4 重积分的换元法 三重积分的换元法 二重积分的换元法 习例1-8 习例9-12 小结与练习解答 重积分的换元法 在直角坐标系下，我们遇到二重积分 就会感到一筹莫展，而采用极坐标问题就迎刃而解. 可见与定积分中一样，采用换元法也是计算重积分强有力的方法. 下面我们介绍重积分中的换元积分法. 二重积分的换元法 平面上同一个点，直角坐标与极坐标之间的关系为 定理 则有 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 例1 例2 例3 为椭圆区域： 例4 求椭圆 所围成的区域的面积. 例8 计算 的体积V. 例6 试计算椭球体 例5 计算 为椭圆 所围成的闭区域. 例7 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S. 解 分析：此题若对被积函数直接化为累次积分， 计算积分难！ 例1 换元的目的之一是：化简被积函数 例2 解 o x y D 例3 为椭圆区域： 解 换元的目的之二是：化简积分区域 解 所求面积 将题中椭圆变为uv面上的圆: u2 + v2 =1 = ab 例4 求椭圆 所围成的区域的面积. 例5 计算 为椭圆 所围成的闭区域. 解 作广义极坐标变换 解 由对称性 的体积V. 例6 试计算椭球体 由例5知 解 则 令 若不用换元法，需将D分成三块进行积分，计算较繁 例7 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S. 例8 计算 解 作变换 则 即, 故 三重积分换元法 定理 设f(x,y,z)在有界闭区域?xyz闭上可积，若变换T : x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)将 uvw 空间中的有界闭区域 ?uvw 变成 xyz 空间中的有界闭区域?xyz , 且满足 1) x=x(u, v, w), y= y(u, v, w), z=z(u, v, w)?C1(?uvw) 2) ? 0, (u, v, w)??uvw 3) 该变换T： ?uvw? ?xyz是一一映射，则有 若变换T为柱坐标： x = r cos ? y = r sin ? z = z = r 所以, 一般将 ?r? z 表为: r1(? ) ? r? r2(? ), z1(r,? ) ? z ? z2 (r ,? ), ? ? ? ? ? . 若变换T为球坐标: x = ? sin? cos? y = ? sin? sin? z = ? cos? 由 所以 例9 围成. 例10 试计算椭球体 的体积V. 例11 计算 其中?是由曲面 所围成的区域. 例12 计算曲面 所围成的立体体积V. 例9 围成. 解 例10 试计算椭球体 的体积V. 解 对于椭球体 使用广义球坐标变换. 例11 计算 其中?是由曲面 所围成的区域. 解 作变换 而 由换元积分法公式