线性代数-第一章5-7.ppt

例如，行列式 按第一行展开，得 证毕。 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即 定理2： 证明： 由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。 在 中，如果令第 i 行的元素等于 另外一行，譬如第 k 行的元素 则， 第i行 右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。 综上，得公式 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。 * 第五节. 行列式的性质 首先引入转置行列式的概念 设n阶行列式 称为 的转置行列式. 行列式 如果把 的行依次变为相应的列，就得到一个新的 性质1： 行列式与它的转置行列式相等。 证明： 则 由行列式定义 说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。 记法 行列式的第s行： 行列式的第s列： 交换s、t两行： 交换s、t两列： 推论： 如果行列式有两行（列）相同，则行列式为 0 。 证明： 把相同的两行互换，有D＝－D，所以 D＝0 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。 性质2： 性质3： 用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素， 等于用数 k 乘此行列式。 推论： 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 记法 第s行乘以k： 第s列乘以k: 推论： 若行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于0 。 性质4： ＋ 即，如果某一行是两组数的和，则此行列式就等于两个行 列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的 对应的行一样。 ＝ 性质5： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加 到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 记法 数k乘第 t 行加到第 s 行上： 证明： 作 得 例1： 计算 利用行列式性质计算： 目标 化为三角形行列式 例2： 计算 例4： 计算 注： 上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法， 要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次 运算是作用在前一次运算结果上。 例如： 第六节. 行列式按行（列）展开 对于三阶行列式，容易验证： 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行列式 来计算？ 定义1： 在 n 阶行列式中，把元素 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 的 余子式。 记为 称 为元素 的代数余子式。 例如： 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 定理1： 证明： （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。 (1) 假定行列式D的第一行除 外都是 0 。 所以， (2) 设 D 的第 i 行除了 外都是 0 。 把D转化为(1)的情形 把 D 的第 行依次与第 行，第 行，······， 第2行，第1行交换；再将第 列依次与第 列， 第 列，······， 第2列，第1列交换，这样共经过 次交换行与交换列的步骤。 由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 得， (3) 一般情形 *