第一章 数值分析与科学计算引论.pptVIP

哈尔滨工程大学 数值逼近与数值代数 哈尔滨工程大学信息与计算科学系 数值分析研究的对象与特点 误差的来源与误差分析的重要性 误差的基本概念 数值运算中误差分析的方法与原则 小结 第一章 绪 论 算法的研究和应用正是本课程的主题 ！ 现代科学研究的三大支柱 理论研究 科学实验 科学计算 计算数学 21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在” 21世纪信息社会对科技人才的要求： --会“用数学”解决实际问题 --会用计算机进行科学计算 第一节 数值分析研究的对象与特点 数值分析也常称为计算方法，或者叫数值计算方法。是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论，是把理论与计算机紧密结合起来，着重研究数学问题的数值方法及其理论。 它的内容包括： 建立数学模型 选取数值计算方法 程序设计 上机计算求得结果 科学计算解题过程 实际问题 数值分析具有的特点： 第一：面向计算机； 第二：有可靠的理论分析； 第三：有较好的计算复杂性； 第四：有数值试验； 第二节 误差来源与误差分析的重要性 模型误差 在建立数学模型过程中,要将复杂的现 象抽象归结为数学模型,往往要忽略一 些次要因素的影响,而对问题作一些简 化,因此和实际问题有一定的区别； 观测误差 在建模和具体运算过程中所用的数据往 往是通过观察和测量得到的,由于精度的 限制,这些数据一般是近似的,即有误差； 由于计算机只能完成有限次算术运算和 逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷 截断误差 过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差； 舍入误差 在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机受到机器字长的限制,它所能表示的数据只能有一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差。 如: 若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差 Taylor展开 过失误差 由于模型错误或方法错误引起的误差. 这类误差一般可以避免 数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是 难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考 虑和分析的就是截断误差和舍入误差 经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人, 因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象. 第三节 误差的基本概念 1．绝对误差与绝对误差限 例 2:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长， 大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。 1.45米的 绝对误差=？ 不知道！ 是近似值的 绝对误差,简称为误差。 定义1：设x是准确值，x*为x的一个近似值，称 （1.5） 但实际问题往往可以估计出 不超过某个正数 ，即， ，则称 为绝对误差限，有了绝对误差限 就可以知道x范围为 即x落在 内。在应用上，常常采用下列 写法来刻划x*的精度。 2．相对误差和相对误差限 （1.6） 定义2：设x是准确值，x*是近似值，称 满足 则称 为的相对误差限。 为近似值 的相对误差，相应地，若正数 ， relative error 绝对误差限 相对误差限 往往未知 代替相对误差 代替相对误差限 因此 例1. 解: 例2. 解: 可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将 不超过其末位数字的半个单位 定义 有6位有效数字 有4位有效数字 有8位有效数字 只有4位有效数字 3 有效数字 且 因此,可根据上述分析对有效数字有如下结果: 或写成标准形式： 例3. 求下列四舍五入近似值的有效数字个数. 3个 3个 4个 4个 3个 5个 定理2. 证明: 即 则有 则由定理1.可知 例6: 解: 定理3． 该结论可以参照定理2的证明，请同学们自证 例7. 解: 则有定理3,相对误差满足 即应取4位有效数字,近似值的误差不超过0.1%. 即 第四节 数值运算中的误差分析方法与原则