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方差分析 一、单因子方差分析： 三个工厂生产同一种零件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其强度，数据如表所示，试问三个工厂的零件强度是否相同？ 工厂 零件强度 甲 103 101 98 110 乙 113 107 108 116 丙 82 92 84 86 首先我们来熟悉一下概念： 因子：对指标有影响的因素称为因子，因子通常用大写字母A、B、C等表示。在上例中，工厂别是因子。 水平：在试验中因子所处的状态称为因子水平，（即因子的属性有多少个即称多少水平）用因子的字母加标来表示，譬如因子A的水平用A1、A2、A3……来表示。上例有三个工厂分别为：甲、乙、丙，我们分别用A1、A2、A3来表示。 试验条件：在一次试验中每一个因子总取一个特定的水平，若干个因子各取一个特定的水平的组合，称其为一个试验条件。上例中只有一个水平，所以，一个水平便是一个试验条件。 指标：衡量试验条件好坏的量称为指标，用y来表示，它是一个随机变量。在例中零件强度就是试验指标。 工厂 零件强度yij（i为不同水平:厂，j为同一水平内数排列） (同水平)和 均值 甲A1 103 y11 101 y12 98 y13 110 y14 412 T1 103 1 乙A2 113 y21 107 y22 108 y23 116 y24 444 T2 111 2 丙A3 82 y31 92 y32 84 y33 86 y34 344 T3 86 3 总平均值 ＝100 1、平方和分解： 1）总的偏差平方和用ST（otal）来表示：为总平均值 ST＝即所有的值同总平均值差的平方和。总数据为n个（n＝r×m），故自由度fT＝n-1 2、组间偏差平方和，也称为因子A的偏差平方和，用SA来表示： SA＝＝m[(103-100)2+(111-100)2+(86-100)2]，自由度fA＝r-1 3、组内偏差平方和即随机偏差：Se （ST＝SA＋Se，所以只需计算两个即可。） Se＝每组内数同组内平均值的平方和，然后三组的平方和相加。自由度fe＝r（m-1） 4、因子或误差的均方和： MSA＝SA/fA，MSe＝Se/fe 5、F比与拒绝域： F＝MSA/ Se/fe，当H0成立时，统计量F的分布为自由度是fA、fe的分布。当F＞F1－α（fA，fe）时，认为因子A是显著的，即诸均值不全相等；当F≤F1－α（fA，fe）时，认为因子A不显著。 上述例子得出的结果：当α＝0.05时，F＝31.21，F0.95（2，9）＝4.26，由于F＞4.26，所以在α＝0.05水平上我们的结论是因子厂家是显著的。 结论：因为因子A显著，这就表明不同的工厂生产的零件强度有明显的差异。 ·备注：如果每个水平下的试验次数不同时，即mi不同时，步骤仍然相同，只是在计算中有两个改动：n＝；SA＝其他一样。 二、双因子方差分析： 如果在一个试验中需要同时考察两个因子A与B，并设因子A有r个水平，因子B有s个水平，这时共有n＝rs个不同的试验条件，也就是说有n总体。 为了减少某种钢材淬火后的弯曲变形，对四种不同的材质（B1～B4）分别进行五种不同的淬火温度（800～880记为A1～A5）进行试验，测得淬火后样品的眼神率数据如下： Ai Bj B1 B2 B3 B4 行和Ti 平均 A1: 800 4.4 y11 5.2 y12 4.3 y13 4.9 y14 18.8 4.700 A2: 820 5.3 y21 5.0 y22 5.1 y23 4.7 y24 20.1 5.025 A3: 840 5.8 y31 5.5 y32 4.8 y33 4.9 y34 20.0 5.250 A4: 860 6.6 y41 6.9 y42 6.6 y43 7.3 y44 27.4 6.850 A5: 880 8.4 y51 8.3 y52 8.5 y53 7.9 y54 33.1 8.275 列和 T.j 30.5 T.1 30.9 T.2 29.3 T.3 29.7 T.4 总和T：120.4 平均 6.10 6.18 5.86 5.94 ：6.020 这里r＝4，s＝5，n＝rs＝20 现在做这样的假设：每一个总体的分布是正态分布，其均值为，它与因子A及B的水平有关，方差相同，数据相互间是独立的。 ·无交互作用 ·有正向交互作用 · ·无交互作用 ·有正向交互作用 ·有反向交互作用 A