2017年数学中考新定义运算解题方法及举例.docx

新定义运算、新概念问题 一、中考专题诠释 所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力. 二、解题策略和解法精讲 解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；?归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题. 25.（本题12分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角。 （1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°。 求证：∠APB是∠MON的智慧角； （2）如图1，已知∠MON=（0°90°），OP=2，若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积； （3）如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交轴和轴于点A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标。21教育网2-1-c-n-j-y 【答案】解：（1）证明：∵∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点， ∴. ∵，∴. ∵，∴.∴. ∴.∴，即. ∴∠APB是∠MON的智慧角. （2）∵∠APB是∠MON的智慧角， ∴，即. ∵点P为∠MON的平分线上一点， ∴. ∴.∴. ∴. 如答图1，过点A作AH⊥OB于点H， ∴. ∵，∴. （3）设点，则.如答图，过C点作CH⊥OA于点H. i）当点B在轴的正半轴时， 如答图2，当点A在轴的负半轴时，不可能. 如答图3，当点A在轴的正半轴时， ∵，∴. ∵∥，∴.∴.∴. ∴. ∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴. ∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为. ii）当点B在轴的负半轴时，如答图4 ∵，∴. ∵∠AOB=∠AHC=90°，∠BAO=∠CAH，∴. ∴.∴. ∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴. ∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为. 综上所述，点P的坐标为或. 【考点】新定义和阅读理解型问题；单动点和旋转问题；相似三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用. 【分析】（1）通过证明，即可得到，从而证得∠APB是∠MON的智慧角. （2）根据得出结果. （3）分点B在轴的正半轴，点B在轴的负半轴两种情况讨论. 2.平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”： （1）点O的“距离坐标”为（0，0）； （2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）； （3）到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）． 设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题： （1）画出图形（保留画图痕迹）： ①满足m=1，且n=0的点M的集合； ②满足m=n的点M的集合； （2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：图中OI长为一个单位长） 思路分析：（1）①以O为圆心，以2为半径作圆，交CD于两点，则此两点为所求；②分别作∠BOC和∠BOD的角平分线并且反向延长，即可求出答案； （2）过M作MN⊥AB于N，根据已知得出OM=n，MN=m，求出∠NOM=60°，根据锐角三角函数得出sin60°==，求出即可． 解：（1）①如图所示： 点M1和M2为所求； ②如图所示： 直线MN和直线EF（O除外）为所求； （2）如图： 过M作MN⊥AB于N， ∵M的“距离坐标”为（m，n）， ∴OM=n，MN=m， ∵∠BOD=150°，直线l⊥CD， ∴∠MON=150°-90°=60°， 在Rt△MON中，sin60°==， 即m与n所满足的关系式是：m=n． 点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含30度角的直角三角形的应用，主要考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 3.概念：