第五章-等参元单元法-公开课件.ppt

5.1 四结点四边形等参数单元PLANE42 1、 等参数单元的概念 四结点矩形单元难以应用于斜线边界。而四结点任意四边形单元容易适应这种边界，但采用整体坐标表示的位移函数将不能满足位移协调条件，并且在计算[k]、[p]e时不容易确定积分的上、下限。 为了解决这个矛盾，可以通过坐标变换将xy坐标系下的任意四边形单元变换成另一个坐标系ξη下的矩形单元。这样，矩形单元位移函数式 就能用于ξη下的基本单元。 选择坐标变换式： 通过这一变换，两单元的点具有一一对应的关系。对于变换后的基本单元，取位移模式： 2、单元的特性分析 采用类似四结点矩形单元的特性分析，可以建立单元应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵、结点力向等的计算公式。但要将对整体坐标x，y的导数计算和积分计算转换为对局部坐标ξ，η的微分和积分计算。 单元应变： 由于Ni是ξ，η的函数， ξ，η是x，y的函数，根据复合求导规则，有： 式中[J]称为雅可比矩阵： 由上式可得： 应力矩阵： 单元刚度矩阵是一个8×8的矩阵 ，仍为 3、等效结点力计算 （1）体积力：设单元的体积力为(pvx，pvy),则 5.2 八结点四边形等参数单元 四结点四边形等参数单元仍然不够理想。原因是：（1）实际单元为直线边界，不能准确拟合物体的曲线边界；（2）位移模式的阶次还不够高，影响计算精度。为此，下面介绍一种精度较高、应用广泛的八结点四边形形等参数单元。其实际单元和基本单元如下图所示。 1、基本单元的位移模式 2、坐标变换式 仿照位移模式，将坐标变换式取为 3、单元分析 单元特性分析与结点力计算过程与上节四结点等参数单元完全相同，具体公式形式也一致。区别仅在于两种单元有关矩阵的维数不同。见下表： 单元应变 由于Ni是ξ，η的函数， ξ，η是x，y的函数，根据复合求导规则，有： 式中[J]称为雅可比矩阵： 由上式可得： 应力矩阵： 单元刚度矩阵是一个16×16的矩阵 ，仍为 3、等效结点力计算 （1）体积力：设单元的体积力为(pvx，pvy),则 受内压厚壁圆筒算例 作为八结点等参数单元法的应用，现考察受内压情况下厚壁圆筒的有限元解。该问题属平面应变问题，几何尺寸如图所示。由于对称性，只需将1/4区域离散成9个八结点等参数单元。材料的弹性模量E=1000，泊松比u=0.3，厚度取1.0，厚壁筒受内压为10。圆筒内半径为5，外半径为20。N-M-C 。 网格划分 受内压厚壁圆筒的径向、环向应力分布 5.3 二十结点六面体等参数单元 由于精度高，容易适应不同边界，在平面问题中常选用八结点四边形等参数单元。与此类似，在三维问题中常选用二十结点六面体等参数单元。如下图。 1、位移模式 采用与平面8结点四边形等参元类似的位移模式与坐标变换式： 2、单元中应变 根据复合函数求导规则，有 3、单元中应力 4、单元刚度矩阵(60X60) （2）面力 5.4 高斯（Gauss）积分 在计算单元刚度矩阵和结点载荷向量式时，由于被积函数比复杂，一般很难直接积分求出，通常采用数值积分。基本思路是：在单元上选择某些特征点（积分点），求出被积函数在这些积分点上的数值，然后用一些权函数乘这些函数值，最后求和就可得到近似积分值。有限元分析中，最常用的高斯数值积分法。下面作简单介绍。 一维高斯积分公式 二维高斯积分公式 式中积分点和权函数仍按上表采用。 某面面力 0.2369269 0.4786287 0.5688889 0.9061798 0.5384693 0 5 0.3478548 0.6521452 0.8611363 0.3399810 4 0.5555556 0.8888889 0.7745967 0.0000000 3 1.0000000 0.5773503 2 权函数Hi 高斯点±ξi n 等参元数值积分中一般取2-3就可取得足够精度 * 2.5.5 坐标变换 通过进行坐标变换，使(ξ，η，ζ)坐标系中形状简单的母单元，在(x，y，z)坐标系中变换为具有曲线(面)边界的形状复杂的单元，变换后的单元称为子单元。子单元在几何上可以适应各种实际结构的复杂外形。经过这样处理，单元具有双重特性：一方面，子单元的几何特征、荷载等等，都来自实际结构，充分反映了实际情况，另一方面，大量计算工作是在母单元内进行的，由于它的形状简单而且规则，计算比较方便，并便于循环，特别有利于在电子计算机上进行计算。因此兼有两方面的优点。 平面坐标变换 二维线性单元 坐标变换公式为 直线24的方程 形心坐标 子单元的4条边都是二次曲线，局部坐标系（ξ，η）是曲线坐标 空间坐标变换 经过空间坐标变换后，原来的直线将变成空间曲线，原来的平面将变成空间曲面。 母单元正六面体，将变为具有曲棱、曲面的六面体子单元。