第一换元法(或称凑微分法)-公开课件.ppt

2.三角代换 例 25　求 于是有 解 ≤ ≤ 则 dx = acost dt， 把变量 t 换为 x . 为简便起见， 　画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图. 于是有 x a t 例 26　求 解 则 dx = asec2 tdt ， 于是有 　　　　　　　　　作辅助三角形， 得 a x t 其中 C = C1 - lna . 例 27　求 解　令 x = a sec t， 则 dx = a sec t tan t dt， 于是有 　　　　　　　　　作辅助三角形， a x t 得 其中 C = C1 – lna . 作三角代换 x = a sin t 或 x = a cos t； 作三角代换 x = a tan t 或 x = a cot t； 作三角代换 x = a sec t 或 x = a csc t. * 一、第一换元法(或称凑微分法) 第四章　不定积分 第二节　换元积分法 二、第二换元法 引例 (因为 d(3x) = 3dx). 一、第一换元法(或称凑微分法） 令 u = 3x， 则上式变为 那么， 也就是说上述结果正确. 一般地，能否把公式 定理 1 回答这个问题. 定理 1　(第一换元法) 且 u = j (x) 为可微函数， ① 证　已知 F ?(x) = f (x)， u = j (x)， 则 所以 则 　　用上式求不定积分的方法称为第一换元法或称凑微分法． 定理 1 常写成： ① ① 式就是把已知的积分 中的 x 所以说把基本积分表中的积分变量 换成可微函数 j (x) 后仍成立 . 其中 u = j (x) 可微. 换成了可微函数 j (x) . 例 1　求 解　对照基本积分表， 如果把 dx 写成了 d(3x + 2)， 那么就可用定理 1 及 为此将 dx 写成 代入式中， 那么 令 3x + 2 = u 则 a, b 均为常数，且 a ? 0. 例 2　求 解　上式与基本积分表中 相似， 为此将 dx 写成 那么 令 4x + 5 = u， 例 3　求 解　上式与基本积分表中 为此将 dx = d(x + 1) 代入式中， 那么 例 4　求 (a 0 常数). 解　上式与基本积分表 例 5　求 (a 0 常数). 解 等等. 例 6　求 解　将被积分式中的 xdx 因子凑微分， 则 经求导验算， 结果正确 . 即 即 例 7　求 解 凑微分，即 则 例 8　求 解 解 例 10　求 例 11　求 解 3.利用三角函数的恒等式. 例 12 求 解 例 13　求 解 例 14　求 解 例 15　求 解 例 16　求 解 4.利用代数恒等式 例 17　求 (a 0 常数). 解 例 18　求 解 例 19　求 解 例 20　求 解 例 21　求 解 二、第二换元法 定理 2　(第二换元法) 设函数 f (x) 连续， 函数 x = j (t) 单调可微， 且 j ?(t) ? 0， 则 1.简单根式代换 例 22　求 解　为了去掉被积函数中的根号， 则 dx = 2tdt ， 于是有 回代变量， 得 例 23　求 解　被积函数含根式 为了去掉根号， 于是有 则 dx = 4t3 dt， 回代变量， 得 例 24　求 解　为了去掉被积函数中的根号， 于是有 *