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第五节 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 定义 设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有 （或）， 那么就称是函数的一个极大值（或极小值）． 函数的极大值与极小值统称极值，使函数取得极值的点称为极值点． 定理1 （必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，则 定理2（第一充分条件）设函数在处连续，且在的某去心邻域内可导． （1）若当时，，而当时，，则在处取得极大值； （2）若当时，，而当时，，则在处取得极小值； （3）若当时，的符号保持不变，则在处不取得极值． 例1 求函数的极值． 解 在内可导，除外处处可导，且 ． 解方程得函数的驻点．易知为函数的不可导点． 在内，；在，，故是函数的一个极大值点．又因在内，，故是函数的一个极小值点． 极大值为，极小值为 定理2（第二充分条件） 设函数在处具有二阶导数且，则 （1）当时，函数在处取得极大值； （2）当时，函数在处取得极小值． 例2 求函数的极值． 解 解方程，得驻点 因，故在处取得极小值 因，故用定理3无法判别． 当取左侧邻近的值时，；当取右侧邻近的值时，，函数在处不取极值．同理，在处不取极值． 二、最大值最小值问题 求闭区间上连续函数的最大值最小值的方法如下： （1）求出在内的驻点及不可导点； （2）计算在上述驻点、不可导点处的函数值及，； （3）比较（2）中诸函数值的大小，其中最大的就是在区间上的最大值，最小的就是在区间上的最小值． 例3 求函数在上的最大值与最小值． 解 在内，的驻点为；不可导点为 因为，所以在上的最大值为，最小值为 例4 铁路上段的距离为100km．工厂距处20km，垂直于（如图所示）．为了运输需要，要在线上选定一点向工厂修筑一条公路．已知铁路每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为．为了使货物从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何处？ 解 设km，则km， 设铁路上每千米的运费为，公路上每千米为（为某个正数），从点到点需要的需要的总运费为，则 该函数的导数为 方程的解为 因为，所以该函数在区间上的最小值为．因此当km时，总运费最省． 习题3-5 1.求下列函数的极值： （1）； 解 令得驻点 由知为极大值，由知为极小值． （3）； 解 令得驻点 由知为极大值．由知为极大值．由知为极小值． （5）； 解 令得驻点 当时，，因此函数在上单调增加；当时，，因此函数在上单调减少，从而为极大值． 6.求下列函数的最大值、最小值： （1）； 解 函数的导数为 令得驻点比较，得函数的最大值为，最小值为 （2）； 解 函数的导数为 令得驻点（舍去）， 比较，得函数的最大值为，最小值为 （3） 解 函数的导数为 令，得驻点比较，得函数的最大值为最小值为 10.某车间靠墙要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁．问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 解 如图，设这间小屋的的宽为，长为，则小屋的面积为 已知，即，故 令，得驻点由知为极大值点，又驻点唯一，故极大值点就是最大值点，即当宽为m，长为m时，这间小屋的面积最大． 12.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如图所示）．截面的面积为．问底宽为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？ 解 设截面的周长为，已知及，即故 令，得驻点由知为极小值点，又驻点唯一，故极小值点就是最小值点．所以当截面的底宽为时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省．