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高斯公式在普通物理中的应用 数学中的高斯公式是场论中的一个基本公式。它建立了空间某一区域v上的体积分与其边界曲面S上的面积分之间的关系，即 在物理学中，常用它的矢量形式： 式中 在普通物理学中，应用高斯公式可以简洁明了地证明某些重要的结论。下面我们就用它来推证著名的阿基米德浮力定律和静电场中的高斯定理。 高斯公式推证阿基米德浮力定律 在普通物理的教科书中，一般对阿基米德浮力定律都不作严格的数学证明，仅对它作一个说明。但是我们可以根据重力场中静止流体的压强分布，应用高斯公式给出一个证明。 一物体浮在液面上，液体表面的平面把浮体表面的封闭曲面S分为两部分和，也把整个浮体分为两部分。其中浮在液面上的那部分为，浸没在液体中的那部分为。建立坐标系，取液体表面为x o y平面，Z轴的方向取为竖直向下。作用在曲面上的压强就是大气压，而作用在曲面上的压强则为 式中P为液体的密度，z为曲面上某点处位于液面下的深度。作用在物体上的浮力就是由于作用在物体下部的压强大于作用在物体上部的压强而产生的，我们来具体计算一下。 因为作用在物体表面上任一面元上的压力总是与面元的法向矢量方向相反，所以有： 式中为与三个坐标轴的夹角，应用在高斯公式，上式可化 为体积分： 上式即为我们所熟知的阿基米德浮力定律的数学表达式，它表 明：浸在液体里的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于物体所排开的液体的重量。 高斯公式推证静电场中的高斯定理 静电场中的高斯定理： 在一般的普通物理教科书中，对高斯定理都不作严格的证明，而是利用电力线的概念加以说明，也有少数书中是采用引进“立体角”的概念来证明的。其实，应用高斯公式可以很简洁地证明高斯定理，而且不需要引进“立体角”的概念。 我们先讨论单个点电荷的情况。在闭合曲面S内有一点电荷q，它所产生的场强为，则穿出S的电通量为 注意，现在我们还不能利用高斯公式把上式中的面积分化为体积分。 因为高斯公式成立的条件要求在闭合曲面S所包围的区域V内是连续函数。但显然在区域V内r=0处（即点电荷q处）不连续。我们可在闭曲面S内作一个以点电荷q为中心，以R为半径的小球面的方向和S一样都取为外法线方向。那么，在闭合曲面 S 和之间的区域中，，满足连续的条件，于是我们可利用高斯公式来计算通过区域的边界曲面的电通量。 由直接计算可得， ，所以。 在面积分，曲面的外法线方向在曲面S处与S的外法线方向相同，而在曲面处则与的外法线方向相反。于是有 所以 这说明通过包含点电荷的任意闭合曲面的电通量都与通过以该点电荷为中心的任一球面的电通量相等。而通过球面的电通量很容易算出： 所以 当点电荷q不在闭合曲面S内时，则在S所包含的V区域内，，可直接利用高斯公式求出： 对于由一组点电荷所组成的带电体系来说，它们在空 间所产生的总场强是各点电荷单独存在时所产生的场强的迭加： 那么通过任意闭合曲面的电通量为： 式中是各个点电荷的电场通过闭合曲面S的电通量。由上述关于单个点电荷的结论可知：当在S内时 当在S外时 所以 这样就证明了高斯定理。 高斯公式与散度 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，若函数P( x，y，z)，Q( x，y，z)与R( x，y，z) 在上具有一阶连续偏导数，则有高斯公式（散度公式）： （是的整个边界曲面的外侧） 在日常生活中，我们经常见到如图1用榔头钉钉子，图2灯 泡或太阳向四周辐射光线，图3点燃的烟花向周围爆炸等现象。对这 些现象进行对比观察，发现都具向四周散射的效果。 我们不妨对钉子受力会被钉进桌面的现象进行受力分析，如 图4，钉子受到榔头的力A=(P，Q，R) 作用，P，Q，R 分别是 力A 在x，y，z 三个坐标轴方向上的分力，力A 的作用效果（变 化率）等效于分力P，Q，R 在坐标轴方向上的作用效果（变化 率），从而我们可用度量A的（散射）作用效果，并称之为散度。因此，我们可以把高斯公式理解成：向量场（包含力场）A=(P，Q，R) 通过闭曲面流向外侧的通量（流量或辐射量），等于A 的散度在闭曲面所围闭区域上的积分。 图1 图2 图3 图4