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高斯公式的应用 摘要： 高斯公式是重积分中一个极其重要的公式, 揭示了空间区域的三重积分与其边界面上的曲面积分之间的关系[1-2] . 然而在教学实践中, 却有不少学生被发可现不能正确恰当用高斯公式, 原因在于其对于高斯公式应用的条件理解不够准确透彻和对解决此类问题的方法、技巧掌握不够灵活.现通过积分区域S的不同情况时，对高斯公式的应用进行讨论，更深入的了解高斯公式的应用条件以及应用技巧。 关键词:第二型曲面积分；高斯公式；应用技巧。 Abstract:Gaussian formula is an extremely important formula of re-integration, reveals the relationship between the surface integral of the triple integral of it boundary surface of the region of space [1-2] in the teaching practice, however, there are a lot of students are sent can be is not correct and appropriate use Gauss formula, as understood in its application conditions for the Gaussian formula not thorough and accurate method to solve such problems, not flexible enough to master skills through the integration region S, the Gaussian formula discussions, a deeper understanding of the Gaussian formula conditions and application skills.Keywords: surface integral; Gaussian equation; application skills. 1.预备知识[3] 定理1 设求第二型曲面积分，一般是将它投影到平面化为二重积分来积分. R是定义在光滑曲面 上的连续函数，以S的上侧为正侧（这时S的法线方向与z轴正向成锐角）， 则有 定理2 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P, Q, R 在V 上连续, 且有一阶连续偏导数（1）其中S取外侧.（1）式称为高斯公式。 注意 该公式的适用条件有两个：（1）为曲面S为一个封闭的曲面，并且S是有方向的，一般外则为正向.（2）函数P，Q，R在封闭曲面S所围成的空间区域V上连续且有一阶连续偏导数. 下面通过对曲面S进行不同的分类以及函数P, Q, R 在V 上连续情况，讨论不同条件下高斯公式的应用方式及应用技巧. 2.高斯公式的应用 2.1封闭曲面直接应用高斯公式 当涉及到的曲面时一个封闭的曲面时 ，可以直接利用高斯公式将封闭曲面的二重积分 化成相应的三重积分，但要注意曲面S的方向. 例1[4] 求第二型曲面积分,其中S：的外侧. 解 因为题目中的条件满足高斯公式的两个条件，其中P=x Q=,R=1 由高斯公式得，所求积分I= = = = 由于，关于平面y=0对称,为y的奇函数，故,所以I= 例2.求第二型曲面积分,其中S为且其外法线方向与x坐标轴的夹角为钝角. 分析：由S的外法线方向与x坐标轴的夹角为钝角，知取S的内侧，不满足高斯公式应用的条件，所以不能直接使用 高斯公式，但是因为，其中为S的反向，即为S的外侧，可以利用该结论对题目进行转化进而利用高斯公式. 解 ∵=-， 其中P=x Q= R=1 ∴I==- ∵为S的外侧，∴满足高斯公式的应用条件 由高斯公式得，I=- =- =- 由于1，关于平面y=0对称,为y的奇函数，故,所以I=- 2.2构造封闭曲面在运用高斯公式 当题目中所涉及的曲面不封闭时，这时要利用高斯公式来计算第二型曲面积分，则需要添加辅助面，一般为平行于坐标平面的辅助平面，构成封闭曲面. 例3[5].计算J=,其中S为圆柱面被z=0,z=3截的部分外侧. 解 分别补充圆柱面与z=0,z=3的交平面，，其中 ，合起来为一个封闭的曲面，记P=