材料力学(孙训方课件).ppt

[例3-5-7]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为? =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。 解：①杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为： ②几何方程——变形协调方程 ③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程： ④ 由平衡方程和补充方程得： 另:此题可由对称性直接求得结果。 §3–6 等直圆杆在扭转时的应变能 一、 应变能与能密度 a c d dx b ? ? dy ?′ ?′ dz z ? x y 单元体微功： 应变比能： 应变能： 二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算 1. 应力的计算 = + t Q t T Q T P Q T 2. 弹簧丝的强度条件: 其中： 称为弹簧指数。 称为曲度系数。 精确值:(修正公式，考虑弹簧曲率及 并非均匀分布的影响) 3.位移的计算(能量法） 外力功： 变形能： [例3-6-1] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？ 解：①最大剪应力的近似值： ②最大剪应力的精确值： ③弹簧圈数： （圈） §3–7 等直非圆杆在自由扭转时的应力和变形 非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。 一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。 二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。 三、矩形杆横截面上的剪应力: h 3 b h t 1 T t max 注意！ b 弹性力学研究结果表明:横截面边缘各点的剪应力形成与边界向切的环流,最大剪应力发生在长边的中点。 1. 剪应力分布如图： （角点、形心、长短边中点） 2. 最大剪应力及单位扭转角 h 3 b h t 1 T t max 注意！ b 其中： 其中：It—相当极惯性矩。 注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义： 查表求? 和? 时一定要注意，表中? 和? 与那套公式对应。 h 3 b h t 1 T t max 注意！ b [例3-7-1] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000N·m 的 作用 ，钢的G =80GPa ，[?]=100M Pa，[?]=1o/m ，试校核 此杆的强度和刚度。 解:①查表求 ? 、? ②校核强度 ③校核刚度 综上,此杆满足强度和刚度要求。 一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。 二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（a），厚 度中点处，应力为零。 §3–8 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力 在计算其横截面上的最大剪应力、单位长度扭转角以及横截面的It 和Wt 时，可将它展开为一狭长矩形截面来考虑。 三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（b），同 一厚度处，应力均匀分布。 [例3-8-1]下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50 mm，b=75mm，厚度t =5mm，杆两端受扭转力偶 T=5000N·m，试求此杆的最大剪应力。 解:闭口薄壁杆自由扭转时的最大剪应力: b a t 一、屈服扭矩 §3–9 考虑材料塑性时圆杆的极限扭矩 二、 极限扭矩 思考题: 1.简述扭转圆轴横截面上的剪应力分布特征？ 2.写出极惯性矩及抗扭截面模量的公式。(实心圆轴和空心圆轴) 3.证明受扭直杆横截面上外棱点(A、B、C、E、F) 处的剪应力一定为零。内棱角D处的剪应力不一定为零 F ⑤ 确定最大剪应力： 由 知：当 Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： [例3-4-1] d=60mm,N=6KN,n=300转/分。求:1—1截上 a、b、c、d四点的剪应力。 解： [练习3]判别下面截面上剪应力分布是否正确。 三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件： 沿横截面断开。 铸铁试件： 沿与轴线约成45?的螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力。 1. 点M的应力单元体如图(b)： (a) M (b) ′ ′ (c) 2. 斜截面上的应力； 取分离体如图