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第十一章 反常积分习题课 一 概念叙述 1．叙述收敛的定义． 答：收敛 存在． ． 2．叙述（是暇点）收敛的定义． 答：收敛 存在． 当，有． 3． 叙述收敛的柯西准则． 答：无穷积分收敛的柯西准则是：任给，存在，只要，便有 ． 4． 叙述（是暇点）收敛的柯西准则． 答：瑕积分（瑕点为）收敛的充要条件是：任给，存在，只要，总有 ． 二 疑难问题 1．试问收敛与有无联系？ 答：首先，肯定不是收敛的充分条件，例如，但发散．那么是否是收敛的必要条件呢？也不是！例如，，都收敛，因为前两个无穷积分经换元得到，=，则，是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元而得=，它也是条件收敛的． 从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛． 注：若，则发散． 注：1）若收敛,且存在, 则定有； 2）若收敛,且在上为单调，则； 3）若收敛，且在上一致连续，则； 4）若收敛，且收敛，则． 证：1）设．若（不妨设），则由极限保号性，，当时满足 于是有 ， 于是 而这与收敛相矛盾，故． 2）不妨在上单调增，若在上无上界，则，，当时，使．类似于1）的证明，推知，矛盾．所以在上单调增而有上界，于是由单调有界定理知存在．依据已证得的命题1），． 3）由在上一致连续，则，（设 时，就有．又因收敛，故对上述，当时，有 ． 现对任何，取，且使此时由 便得这就证得 4）因为收敛，则存在，于是存在，由1)得证． 2．收敛，与收敛，收敛的关系？ 答：1）因为绝对收敛收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则 收敛 收敛． 2）收敛 收敛， 例 条件收敛，但 ， 发散，发散，则发散． 例 收敛，但发散． 3）收敛 收敛， 例 ，对，总存在，使当时，都有 ． 故 但对于， 例 绝对收敛，即收敛，因为 绝对收敛，即收敛，而，是暇点，取 ，则，因为收敛． 因为， 收敛．，是暇点，取 ，则 ， 因为，则发散． 例 收敛，但发散． 3．（为瑕点）收敛，与收敛 ，收敛的关系？ 答：1）收敛 收敛．因为绝对收敛收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）收敛收敛，收敛收敛． 反例 收敛，但发散． 3）若（为瑕点）收敛，则（为瑕点）收敛． 证 因，则由比较原则，可得收敛，从而收敛． 3．下列说法对吗？ 1）因为在没有定义，则是瑕积分； 2）因为在没有定义，则是的暇点． 答：若被积函数在点的近旁是无界的，这时点称为的瑕点． 1）错误，因为，则在的近旁有界，因此不是瑕点，是定积分．若在上连续，（常数），则可看成正常积分， 事实上，定义知在上连续，即存在，而，由于在上连续，知变下限函数在上连续，有，即故可看成正常积分。 2）错误，因为，则在近旁有界，因此不是瑕点． 注 我们经常通过证（）来判断为的瑕点． 例 因为，则是的暇点． 4．定积分，无穷积分有什么区别？ 答 1) 在可积 在可积 在可积 收敛 收敛 收敛 2），但对于不一定具有这个性质，因为此时可能发散． 3）在可积，则在上有界，但收敛不能保证在上有界，例如，，不仅不存在，而且在上无界．再如条件收敛，但在上无界． 5．定积分与瑕积分有什么区别？ 答 收敛（为瑕点） 收敛（为瑕点） 收敛（为瑕点） 在可积 在可积 在可积 2），但对于（为瑕点）不一定具有这个性质，因为此时可能发散． 3）在可积，则在上有界，但（为瑕点）收敛不能保证在上有界． 注 反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上积分时，先要检查是否有瑕点，不能把定积分的性质直接平移到反常积分中． 5．定积分哪些性质可以平移到反常积分中？ 答：定积分的线性运算，牛顿莱布尼茨公式，换元积分，分部积分，在反常积分中，仍然成立．若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，换句话说可以像正常的定积分一样运算。 例如．这里． 由在连续必有原函数，设的原函数为。于是 ． （为瑕点）； （为瑕点）． 6．总结对无穷积分(或瑕积分)收敛判别的一般步骤： 1）首先用比较法则及其推论来判别是否绝对收敛,当判得(或 )收敛时,