2017专题3：根与系数的关系(含答案).docVIP

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．    例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．  例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12m，且点B（m，n）在x轴上，求m的值．   . 例4. 已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．    例5. 已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0． （1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由． （3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．  训练 1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1β=1，求m的值．  2.已知一元二次方程x2-2x+m=0 （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值． （3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．   3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0 （1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根； （2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．  4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．  5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．  6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+12m-3=0 （1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．   7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3． （1）求a的值及方程的另一个根； （2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．   8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？ 专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0， 解得：m＞-14，∵二次项系数≠0，∴m≠0， ∴当m＞-14且m≠0时，方程有两个不相等的实数根； （2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根， ∴x1+x2=2m-1m，x1x2=m-2m， ∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（2m-1m）2-3(m-2)m=2， 解得：m1=2+1，m2=-2+1（舍去）； 解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）∵x=4m±362=2m±3， ∴x1=2m-3，x2=2m+3， ∵2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1， ∴m 解：（1）∵△=（4-3m）2-4m（2m-8）， =m2+8m+16=（m+4）2 又∵m＞0∴（m+4）2＞0即△＞0 ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2）， ∴x1+x2=-4-3mm，x1?x2=2m-8m， n=x2-x1-12m，且点B（m，