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奇异值分解及应用.pptVIP

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定理:设;引理1 ;证明 设x是方程组AHAx=0的非0解,;对于Hermite 矩阵AHA, AAH,设 AHA, AAH有r个非0特征值,分别记为;奇异值的定义;定理 酉等价的矩阵有相同的奇异值;奇异值分解定理;证明 设矩阵 的特征值为;并改写②式为;;;推论 在矩阵A的奇异值分解A=UDVH中,U的列向量为AAH的特征向量, V的列向量为AHA的特征向量.;1]求矩阵AHA的酉相似对角矩阵及酉相似矩阵V;;例1、求矩阵;构造:;奇异值分解方法2--利用矩阵AAH求解;例 求矩阵A的奇异值分解;;;第二节 奇异值分解的性质与应用;2. 奇异值对矩阵的扰动不敏感;3. 奇异值的比例不变性,即 的奇异值是A的奇异值的 倍. ; 5. 容易得到矩阵A的秩为 的一个最佳逼近矩阵. ;假设推荐系统中有用户集合有6个用户,即U={u1,u2,u3,u4,u5,u6},项目(物品)集合有7个项目,即V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7},用户对项目的评分结合为R,用户对项目的评分范围是[0, 5],如图所示。;推荐系统的目标就是预测出符号“?”对应位置的分值。???荐系统基于这样一个假设:用户对项目的打分越高,表明用户越喜欢。因此,预测出用户对未评分项目的评分后,根据分值大小排序,把分值高的项目推荐给用户。;?矩阵分解目标就是把用户-项目评分矩阵R分解成用户因子矩阵和项目因子矩阵乘的形式,即R=UV,这里R是n×m, n =6, m =7,U是n×k,V是k×m,如图所示。

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