动点产生的等腰三角形.docVIP

PAGE PAGE 1 中考问题之-因动点产生的等腰三角形 【压轴题型概述】本专题专门探求图形在变化过程中，符合等腰三角形的点的存在性问题. 这个动点可以在x轴、y轴上，也可以在正、反比例函数、一次函数、二次函数上；可能是一个点在运动，也有可能两个点同时运动；所以这类题目的解答要根据运动本身的特点，写出符合这个特点的点的坐标或求出线段的长度. 等腰三角形的题目范围较广，题型很多. 数形结合，可以直观地找到解题的捷径；代数方法、几何方法各有千秋，灵活应用才能事半功倍. 这部分考题在中考试卷中的比例很大，约占30%左右. 【策略分级细述】 怎样设动点的坐标 （1）若动点在x轴上，因为横坐标x在变化，纵坐标y没有变化，始终等于0，所以可设动点坐标为（x，0）； 若动点在y轴上，横坐标x没有变化，始终等于0，纵坐标y在变化，所以可设动点坐标为（0，y）. （2）若动点在函数y＝f(x)上，则横坐标设为x，纵坐标设为f(x). 例如，点A在反比例函数 y＝ EQ \F(3,x) 的图像上，设A（x，y），因为y ＝ EQ \F(3,x) ，所以用 EQ \F(3,x) 来代替y，这种情况一般就直接设A（x， EQ \F(3,x) ）；又如：点B在一次函数 y＝2 x ─ EQ \F(1,2) 上，直接设B（x，2 x ─ EQ \F(1,2) ）. 等腰三角形要分类讨论 如图1-1，一个三角形为等腰三角形时，存在三种情况：AB = AC；AB = BC；BC = AC，所以要分类进 行讨论. 图 1-2 图 1-2 图1-3 图 图 1-1 3. 坐标系中三角形边长的表示 如图1-2，若三角形AOB的三个顶点在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2）则AB两点间的距离公式为：AB = EQ \R(,(x1─x2)2＋(y1─y2)2) . 用同样的方法，把其他两条边的距离也写出来，OA = EQ \R(,x12＋y12) ，OB = EQ \R(,x22＋y22) . 然后按照图1-1的方法，让三条边两两相等，解方程即可. 我们来具体的解一道反比例函数图像上求等腰三角形的题. 如图1-3，在直角坐标系xOy中，反比例函数 y = EQ \F(8,x) 图像上的点A、B的坐标分别为（2，m）、（n， 2），点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，求点C的坐标. 分析： 反比例函数y = EQ \F(8,x) 图像上的A、B点，满足这个解析式，所以把A、B点的坐标分别代入，求出这 两个点的坐标. 如图1-4，点C在x轴上，所以设C（x，0）. 为了方便起见，讨论前可以利用两点间的距离公式，分别把AB，BC，CA的长度写出来. 根据等腰三角形存在三种情况：分别对AB = AC；AB = BC；BC = AC进行讨论. 解：因为A（2，m）、B（n，2）在y＝ EQ \F(8,x) 上，所以m＝ EQ \F(8,2) ，2＝ EQ \F(8,n) ，解得：m＝4,n＝4，所以A（2，4）、B（4，2）. 因为点C在x轴上，所以设C（x，0）， 则AB＝ EQ \R(,(4─2)2＋(2─4)2) ＝2 EQ \R(,2)，AC＝ EQ \R(,(x─2)2＋42) ＝ EQ \R(,x2─4x＋20) ，BC＝ EQ \R(,(x─4)2＋22) ＝ EQ \R(,x2─8x＋20) . 若△ABC为等腰三角形，分三种情况讨论： AB＝AC，即 EQ \R(,x2─4x＋20) ＝2 EQ \R(,2)，整理得x2─4x＋12＝0，因为△＜0，所以方程无实数根，这种情 况不存在. AB＝BC，即 EQ \R(,x2─8x＋20) ＝2 EQ \R(,2)，整理得x2─8x＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝6，所以C（2，0）（如 图1-4）；C（6，0）（因为A、B、C三点在一条直线上，不能构成三角形，如图1-5，所以舍去）. BC＝AC，即 EQ \R(,x2─4x＋20) ＝ EQ \R(,x2─8x＋20) ，解得：x＝0，所以C（0，0）（如图1-6）. 所以这样的点C有两个，C（2，0）或（0，0）. 图1-6图 图1-6 图1-5 图1-4 例1有两个固定的点在反比例函数上，动点在x轴上，探求符合条件的等腰三角形的点的存在性.接下来我们再来探讨正、反比例函数上的两个点和y轴上的点构成的等腰三角形的问题. 图 1-7如图1-7，点A（m 图 1-7 AB⊥y轴于点B，OB = 2 AB. （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）求正比例函数和反比例函数的另一个交点C的坐标； （3）在y轴上是否存在一点D，使△ACD为等腰三角形，若存在，请求出 点D的坐标