2017年中考数学专题复习六：解直角三角形的应用.docVIP

专题六：解直角三角形的应用 【问题解析】 解直角三角形是初中阶段学习平面几何图形的重要内容，它是在学习了直角三角形的性质、勾股定理和三角函数的基础上学习的．解直角三角形的应用着重考查学生的基础知识和基本能力．中考要求及命题趋势目的是培养学生学数学、用数学的意识，提高学生应用数学解决实际问题的能力．因此它在中考中一直占有一定比例，各个省市连续几年都考查了解直角三角形的应用． 在中考中解直角三角形的有关题型亮相也比较新颖，常见的有关于航海、坡面、楼高的测量，将一般三角形转化直角三角形求解，实际问题抽象出三角形求解等类型． 【热点探究】 类型一：关于解直角三角形中的仰角问题 【例题1】（2016海南）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上． （1）求斜坡CD的高度DE； （2）求大楼AB的高度（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【专题】应用题；解直角三角形及其应用． 【分析】（1）在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可； （2）过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长． 【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°， ∴DE=DC=2米； （2）过D作DF⊥AB，交AB于点F， ∵∠BFD=90°，∠BDF=45°， ∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形， 设BF=DF=x米， ∵四边形DEAF为矩形， ∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米， 在Rt△ABC中，∠ABC=30°， ∴BC====米， BD=BF=x米，DC=4米， ∵∠DCE=30°，∠ACB=60°， ∴∠DCB=90°， 在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=+16， 解得：x=4+或x=4﹣， 则AB=（6+）米或（6﹣）米． 【点评】此题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【同步练】 （2016·山东省德州市·4分）2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5° （1）求发射台与雷达站之间的距离LR； （2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？ （参考数据：son42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02 ） 类型二：关于直角三角形中的俯角问题 【例题2】（郴州市 2014 中考 -22）某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号） 思路分析： 结合已知图形特点，先根据Rt△CDB，求出BD，在Rt△CDA中求出AD，继而可得AB，也即此时渔政船和渔船的距离． 解题过程： 解：在Rt△CDA中，∠ACD=30°，CD=3000米， ∴AD=CDtan∠ACD=米， 在Rt△CDB中，∠BCD=60°， ∴BD=CDtan∠BCD=米， ∴AB=BD﹣AD=米． 答：此时渔政船和渔船相距米． 规律总结： 熟练锐角三角函数的定义，能利用已知线段及锐角三角函数值表示未知线段是解答本题的关键，注意数形结合． 【同步练】 （2016河南）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 类型三：关于解直角三角形方向角问题 【例题3】（2016·山东省菏泽市·3分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某