等差数列前n项和性质及应用.pptVIP

* 等差数列的前n项和公式: 形式1: 形式2: 复习回顾 ①前100个自然数的和：1+2+3+…+100= ； ②前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)= ； ③前n个偶数的和：2+4+6+…+2n= . 思考题：如何求下列和？ n2 n(n+1) 1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？ 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 则 Sn=An2+Bn 令 ㈡【说明】 ①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 ； ②等差数列的前n项和公式类同于 ； ③{an}为等差数列? ，这是一个关于 的没有 的“ ” 倒序相加法 梯形的面积公式 Sn=an2+bn n 常数项 二次函数 （ 注意 a 还可以是 0） 例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n， 求证：{an}是等差数列. 例1、若等差数列{an}前4项和是2，前9项和是－6，求其前n 项和的公式。 ， 解之得： 解：设首项为a1，公差为d，则有： ∴ 设 Sn= an2 + bn，依题意得：S4=2, S9= －6, 即 解之得： 另解： 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=－20 ∴当n=7时,Sn取最大值49. 则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 7 n 11 3 Sn 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=－2 ∴当n=7时,Sn取最大值49. ∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15 由 得 ∴a7+a8=0 等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得 ∴当n=7时,Sn取最大值49. a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8 又d=－20,a1=130 ∴a70,a80 例1的变式题二：等差数列{an}的首项a1 0, 前n项和为Sn，Sm= Sl ,问: n为何值时，Sn最大？ 例1的变式题一：等差数列{an}中，首项a1０，S3 = S11，问：这个数列的前几项的和最大？ 例2：已知数列{an}是等差数列，且a1= 21，公差d=－2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。 的前n项和为 , ②当n为何值时， 最大， ①数列 的通项公式 已知 求： 例3设等差数列 求等差数列前n项的最大(小)的方法 方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号①当a10,d0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a10,d0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得. 练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( ) A.12 B.13 C.12或13 D.14 C 2.等差数列{an}前n项和的性质 性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也成等差数列,公差为 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= n2d 0 - (m+p) 性质4: 为等差数列. 两等差数列前n项和与通项的关系 性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63