高数-经济数学——微积分(第二版)1-2(数列）.ppt

上页 目录 下页 一、概念的引入 二、极限的描述性定义 三、“函数值能变得‘无限趋近常数A’”的 描述 四、数列极限的定义 五、数列极限的性质 第一章 数列极限 第二节 数列的极限 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 一、概念的引入 1、割圆术： 二、数列极限的描述性定义 例1　“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 放大 《庄子· 天下篇》 这12个字实际上给出了一个数列,第一项是1（一尺之棰）, 从第二项开始每一项都是前一项的一半（日取其半）. 数列的项越来越小，它将无限地接近于零，但永远不会等于零（万世不竭）。 将这个数列写出来就是 例2　数列 可以看到随着n的增大该数列无限接近于1。 数列的一般项 表达式为 例1 当n无限增大时， 总结一下它们有何共同点？ 它们的共同点是:在自变量n无限增大的过程中，对应的数列值都无限接近于一个常数A. 总之，我们看到 无限接近于0； 例2 当n无限增大时， 无限接近于1； 如果数列 在自变量n 无限增大的过程中，对应的数列的 值an无限趋近于常数A ，就称该数列在自变量n无限增大时 以A为极限. 例1 当n无限增大时， 的极限是0； 例2 当n无限增大时， 的极限是1； 按照这种说法 数列极限刻画的是数列值随自变量n变化的最终结果还是变化的最终趋势？ 这种叙述显然是不严格的，仅仅是朴素的语言描述. 比如“无限趋近”是很模糊的. ——极限的描述性定义 要给出数列极限的严谨定义，关键是如何用数学语言刻画自变量n无限增大的过程中,对应的数列值“无限趋近于”一个常数. 如果数列 在自变量n 无限增大的过程中，对应的数列的 值an无限趋近于常数A ，就称该数列在自变量n无限增大时 以A为极限. 三、“数列值an能变得‘无限趋近常数A’”的描述 用 |an-A| 小于0.1可以吗？小于0.01，0.001，0.000001等具体的数可以吗？ 不可以，这样体现不出“要多小就能有多小”，因为能小于一个具体的数(比如0.000001), 却不能说它还能小于更小的数(比如0 . 该如何刻画呢？ 可以用|an-A|的大小来刻画an 与A的接近程度， 所谓an能变得无限接近于A，可以用|an-A|能变得无限趋于零，或说能变得任意小、要多小就能有多小来描述。 只有说明 |an-A| 可以小于任意给定的正数，才能说明这个距离能变得要多小有多小. 为此用 表示任意给定的正数， |an-A|任意给定的小正数 这样显然不是数学语言. 这样，就解决了刻画“数列值an能变得‘无限趋近于常数A’”的问题。 需要注意的是，对任意给定的小正数 ，并不是对自变量的任意取值n都能使得 成立， 上式就可以表示为： |an-A| 例如： 成立. 对数列 及 并不是所有的n都能使 而只有当n增大到一定“程度”，比如n=9，从此之后(n9)的各项才能使 成立. “某一程度之后”该如何描述呢？ 而是在自变量增大的过程中，当变化到某一“程度”，从此之后所对应的数列值an才能使这个不等式成立. 同样对于任意的数列an也不是对自变量n的所有取值都能使 成立， 对于数列来说，“某一程度之后”该如何描述呢？ 从数列 无限趋于0谈起. 四、数列极限的定义 由于 ，需要说明： 对任意给定的 ，在n无限增大的过程中，当n变化到某一“程度”之后，有 恒成立. 在n无限增大的过程中， 用 nN 表示n变化到这个程度之后. 存在“某一程度”， 用 来表示 (这是因为n始终取正整数)， 下面我们来看，对于给定的 ，如何寻找这个“程度”N. 我们先从 的具体取值来看： 对 ，可得到从第10项以后的所有项与0的距离 都小于0.1； 事实上，对于给定的 要使 只需 于是，取“程度” N=10，用nN表示”从此之后”. 恒成立. 即存在N=10，当nN=10时， 显然从第15项起也小于0.1。 这个N唯一吗？ 从数列 无限趋于0谈起. 再如对于给定的 要使 只需 于是，取“程度” N=100. 成立. 即存在N=100，使得当nN=100时，