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* 第七章 频域处理 7.5 离散沃尔什-哈达玛变换 （Walsh Hadamard Transform） 7.5.1 格雷码（Gray Code） （1）二进制到格雷码的转换： 十进制 二进制 二进制 格雷码 （自然排序） （倒序） 0?? 000?? ???? 000??? 000 ? 1?? 001?? ???? 100 001??? ? 2?? 010??? ??? 010?? 011 ? 3?? 011??? ??? 110 010?? ? 4?? 100??? ?? ?001??? 110 ? 5?? 101??? ??? 101 111?? ? 6?? 110??? ??? 011? 101?? ? 7?? 111??? ?? ?111? 100?? 例： （2）格雷码到二进制的转换： 7.5.2 拉德梅克函数（Rademacher） 1 . 拉德梅克函数定义 可见，R(n,t)为周期函数。 2 . 拉德梅克函数的规律和特性 （1）周期函数 n=0时，T＝2； n=1时，T＝1； n=2时，T＝1/2； n=3时，T＝1/22； …… …… R(n,t)=R(n,t+1/2n-1) 1 2 0 （2） 函数的取值 R(n,t)的取值只有＋1和－1。 （3） 函数的频率特性 R(n,t)是R(n－1,t)的二倍频。 （4） 函数离散化 如果已知n ，则R(n,t)在（0t1）范围内有2n-1个周期。（连续） 若在t=(k+1/2)/2n 处作取样，则可得到一个离散的数据序列 R(n,k)，其中，k=0,1,2……2n-1 。（离散） 7.5.3 沃尔什函数（Walsh） 沃尔什函数有三种不同的函数定义，但都可由拉德梅克函数构成。 （1）按沃尔什排列的沃尔什函数 其中，R(k+1,t)是任意拉德梅克函数，g(i)是i的格雷码， g(i)k是此格雷码的第k位数。P为正整数， 。 例：当p＝3时，对前8个Walw(i,t)取样，则： Walw(0,t)=1 ——{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} Walw(1,t)=R(1,t) ——{1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1} Walw(2,t)=R(1,t) R(2,t) ——{1, 1, -1,-1,-1,-1, 1,1} Walw(3,t)=R(2,t) ——{1, 1,-1,-1, 1, 1,-1,-1} Walw(4,t)=R(2,t) R(3,t) ——{1,-1,-1, 1, 1,-1,-1, 1} Walw(5,t)=R(1,t) R(2,t) R(3,t) ——{1,-1,-1, 1,-1, 1, 1,-1} Walw(6,t)=R(1,t) R(3,t) ——{1,-1, 1,-1,-1, 1,-1, 1} Walw(7,t)=R(3,t) ——{1,-1, 1,-1, 1,-1, 1,-1} 取样后得到的按沃尔什排列的沃尔什函数矩阵 （2）按佩利（Paley）排列的沃尔什函数 其中，R(k+1,t)是任意拉德梅克函数，ik是自然二进制码的第k位数。P为正整数， 。 例：当p＝3时，对前8个Walp(i,t)取样，则： Walp(0,t)=1 ——{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} Walp(1,t)=R(1,t)
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