恒成立问题常见类型及解法.ppt

5、不等式恒成立问题 高考命题中，不等式恒成立问题往往结合函数与导数同题考查，单独考查的较少，结合函数与导数的题目难度大、分值高，要引起我们的足够重视。 6、不等式与其他知识的结合 * * 恒成立问题 常见类型及解法 细解命题特点 转化思想——解答不等式恒成立问题 求解不等式恒成立问题的常用方法： (1)分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解. (2)函数思想：转化为求含参数的函数的最值问题求解. (3)数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上下关系求解. 解答过程中应注意的问题： (1)分离参数时应注意系数符号对不等号的影响. (2)应用函数方法求解时，所使用的函数一般为二次函数. (3)应用数形结合法求解时，应注意图象最高点或最低点处函数值的大小关系. 在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种 类型： （1）一次函数型； （2）二次函数型； （3）变量分离型； （4）利用函数的性质求解； （5）直接根据函数的图象求解； （6）反证法求解。 下面分别举例示之。 一、一次函数型 典例导悟 二、二次函数型 典例导悟 三、变量分离型 【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 典例导悟 【理论阐释】 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)= －f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；若函数图象平移前后互相重合，则函数解析式相等。 四、利用函数的性质解决恒成立问题 典例导悟 五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题 【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决问题。 典例导悟 六、采用逆向思维，考虑使用反证法 【理论阐释】 恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑问题的反面，有时会有“柳暗花明又一村”的效果，所谓“正难则反”就是这个道理。 典例导悟 【典例】设函数 对任意x∈［1,+∞), f(mx)+mf(x)＜0恒成立，则实数m的取值范围是_______. 【解题指导】转化为具体不等式后，再通分转化为整式不等式，最后分类讨论. 【规范解答】∵ x∈［1,+∞), f(mx)+mf(x)＜0, ∴ ∴ 即mx［2m2x2-(1+m2)］＜0. 由f(mx)+mf(x)＜0在x∈［1,+∞)上恒成立知， mx［2m2x2-(1+m2)］＜0在x∈［1,+∞)上恒成立, ∴m≠0. 当m＜0时，只要2m2x2-(1+m2)＞0恒成立即可, 即 ∵x∈［1,+∞), ∴ ∴m2＞1,∴m＜-1. 当m＞0时，只要2m2x2-(1+m2)＜0恒成立即可, 即 ∵x∈［1,+∞), ∴ 不恒成立. 综上，实数m的取值范围为(-∞,-1). 答案：(-∞,-1) *