离散时间保险风险模型的破产问题资料精.pdf

维普资讯 j立用概率统计 第十八卷 ChineseJournalofAppliedProbability 第三期 2002年 8月 andStatisticsVo1．18No．3Aug．2002 离散时间保险风险模型的破产问题 术 孙立娟 顾 岚 (清华大学数学科学系，北京， 100084) (中国人民大学统计学系，北京， 100872) 摘 要 本文研究了引入利率的离散时间保险风险模型，得到了描述破产严重程度的破产前盈余分布、破产持续时间分 布的递推公式，并对具体实例给出数值计算结果 ． 关 键 词 ： 离散时间保险风险模型，破产前盈余分布，破产持续时间分布． 学 科 分 类 号 ： 0211．5． §1． 模型的背景及数学描述 现实中通常用连续时间数学模型作为对离散时间现象的抽象描述，而在实际应用中又必须再次使其离散 化．早在 1986年， ActuarialMathematics)) 【】一书就专门讨论了离散时间的保险风险模型 ．该模型将单 位时间内收取的保费视为常数，每一时期的理赔量视为独立同分布 (i．i．d．)的随机变量，本文对此加 以推广 将利率因素引入风险模型 ．引入利率以加强模型的现实描述能力，这是当前保险理论界和实务界特别关 注的精算研究课题 ．Yang(1998)[。】曾对利率收入的离散风险模型进行了研究，利用鞅方法得出了破产概率的 指数上界 ． 本文对引入利率的保险风险模型作了探讨，利用递推形式，得出了破产持续时间分布、破产前盈余分布 等结论 ． 我们考虑保费收入为随机变量的利率收入离散时间模型．假定在我们所考虑的时间内具有固定利率 r， 为保险公司的初始准备金，则在时刻 7,／，保险公司的累积盈余为： n n ()=u(1+r)+∑ t(1+r)一件 一∑ (1+r)一。， (1．1) i=1 i= 1 式中， 和 都是 i．i．d．的非负随机变量序列，且相互独立，它们分别表示 [i一1，i)时间区间内 (或者说第 i年)保险公司的保费收入和理赔支出． 我们假定 t和 的期望值都是有限的．令 Zi= 一(1+r) t， 则 Z 也是 i．i．d．的随机变量序列 ．为保证保险公司的正常运作，必须附加一定的风险负荷，通常要求 EZi0． 盈余过程可改写为： ()= (14-r)一(14-r)Sn， (1．2) n 其中Sn=∑Zi／(1+r)．设 FY(z)，Fy()分别为 ，y的分布函数，则 Z的分布函数为 i1 ，+o。 G()= P{Z )= ／ P(Y一(1+r)X IX=x)dFx(z) √0 r+o。 = ／ Fy((1+r)x+u)dFx(z)， (1．3)