中国剩余定理.ppt

中国剩余定理 扩展欧几里德定理 看过《射雕英雄传》的同学应该记得，当年黄蓉身中奇毒，郭靖将她送到瑛姑那里救治，进入瑛姑茅舍，瑛姑就给他们出了一题： “今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？” 黄蓉天资聪慧，哪里难得住她，她略微思考，答：23。 大家是不是很好奇，黄蓉是怎么解出这道题的呢？ 其实，这就是享誉中外的《中国剩余定理》。 一、剩余问题 在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，从而要求出适合条件的这个被除数的问题，叫做剩余问题。 古代人的解法： 凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一则置十五；一百六以上，以一百零五减之即得。 依定理译成算式解为： 70×2＋21×3＋15×2＝233 233－105×2＝23 一些关于中国剩余定理的定理： 定理1：几个数相加，如果只有一个加数，不能被数a整除，而其他加数均能被数a整除，那么它们的和，就不能被数a整除。 如：10能被5整除，15能被5整除，但7不能被5整除，所以（10+15+7）不能被5整除。 一些关于中国剩余定理的定理： 定理2：二数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。 如：22÷7＝3……1 （22×4）÷7＝12……1×4（＝4） （要余2即 22×2÷7＝6……2） （22×9）÷7＝28……1×9-7（＝2） （想余5则22×5÷7＝15……5） 现在人的解法： 用各除数的“基础数”法解。 基础数的条件： （1）此数必须符合除数自身的余数条件； （2）此数必须是其他所有各除数的公倍数。 第一步： 求各除数的最小公倍数 ［3，5，7］＝105 第二步： 求各除数的基础数 （1）［3］ 105÷3＝35 ［35］÷3＝11……2 （2）［5］ 105 ÷ 5＝21 21÷5＝4……1（当于3） ∵1×3＝3　　21×3＝［63］ （3）［7] 105 ÷ 7＝15 15 ÷ 7＝2……1（当于2） ∵1×2＝2 ∴15×2＝［30］ 第三步： 求各基础数的和 35+63+30＝128 第四步： 求基准数（最小的，只有一个） 128-105=23 第五步： 求适合条件的数X X＝23+105K（K是整数） 这个步骤让我想起了韩信点兵： 传说西汉大将韩信，由于比较年轻，开始他的部下对他不很佩服。有一次阅兵时，韩信要求士兵分三路纵队，结果末尾多2人，改成五路纵队，结果末尾多3人，再改成七路纵队，结果又余下2人，后来下级军官向他报告共有士兵2395人，韩信立即笑笑说不对（因2395除以3余数是1，不是2），由于已经知道士兵总人数在2300?/FONT2400之间，所以韩信根据23，128，233，------，每相邻两数的间隔是105，便立即说出实际人数应是2333人（因2333=128+20χ105+105，它除以3余2，除以5余3，除以7余2）。这样使下级军官十分敬佩，这 以上是韩信点兵的故事，就要确定K值了。 另外一种解法： 用枚举筛选法解 按除数3，7同余2，依次逐一枚举；随后用除以5余3，进行筛选，便可获解。 摘录条件 3......2 （基准数） ÷ 5……3 同余 2 7......2 （一）求3和7的最小公倍数［3，7] ＝21 （二）进行枚举筛选 （1）21＋2=23 23÷5＝4……3 由此可以过一题：pku1006 /JudgeOnline/problem?id=1006 题目大意： 人的身体，情感，智力的高峰低谷都由周期，分别是23天，28天和33天，现在给出身体，情感，智力的起始天，请计算由此天开始的第几天会达到三个方便的峰值，输出此峰值。 思路： 运用中国剩余定理解得基准数，次数再减去起始天D，再加上23，28，33的最小公倍数21252，其值就是答案。 代码：PKU1006 #includeiostream using namespace std; int main(){ int p,e,i,d,j,k,a=1,b=1,c=1; for(j=1;;j++){ if(23*28*j%33==1){ a=23*28*j; break; } } for(j=1;;j++){ if(28*33*j%23==1){ b