02-第二章-应力理论.ppt

例题和作业 例题和作业 例题和作业 例题和作业 例题和作业 例题和作业 例题和作业 谢 谢！ 剪应力互等定理 剪应力互等定理 剪应力互等定理 Chapter 3.5 平衡微分方程 剪应力互等定理 如图所示微正六面体，对通过形心P且沿z轴方向的轴取矩，由力矩平衡条件得 化简 注：凡作用线通过P点或方向与z轴平行的应力和体力分量对该轴的力矩均为零。 Chapter 3.5 平衡微分方程 同理对沿x和y方向的形心轴取矩可得 于是导得 称为剪应力互等定理，或称应力张量的对称性。 Chapter 3.5 平衡微分方程 应力的平衡微分方程(简称平衡方程)如下： 用指标符号表示为： 用实体符号表示为： Chapter 3.5 平衡微分方程 平衡微分方程另外一种推导方法 Chapter 3.5 平衡微分方程 平衡微分方程另外一种推导方法 平衡条件： 即： Chapter 3.5 平衡微分方程 圆柱坐标系中的平衡方程 工程实践中常常要分析圆柱、圆筒等物体的受力及变形问题，在这些情况下采用柱坐标系比较方便，为此以下将给出柱坐标系下平衡方程的相应形式。 Chapter 3.5 平衡微分方程 圆柱坐标系中的应力张量 Chapter 3.5 平衡微分方程 圆柱坐标系中的应力张量 或 Chapter 3.5 平衡微分方程 Chapter 3.5 平衡微分方程 在柱坐标系中用r、?、z确定一点的位置(如图所示), 在所取的扇形微单元体上作用正应力分量?r、?? 、? z，剪应力分量?zr、??r、??z等。 Chapter 3.5 平衡微分方程 将单元体向roz平面投影 Chapter 3.5 平衡微分方程 将单元体向xoy平面投影 Chapter 3.5 平衡微分方程 Chapter 3.5 平衡微分方程 简化，得 由于d?是小量，所以可取 Chapter 3.5 平衡微分方程 同理可求得圆周方向(?方向)及轴向(z方向)的平衡微分方程，于是可得柱坐标系下的平衡微分方程为： 主应力 应力不变量 同样可得其余两组方向余弦为： 主应力： 主方向方向余弦： 主应力 应力不变量 Chapter 3.3 应力偏量 将应力张量分解成球形张量和偏斜张量 其中球形应力张量： 主应力 应力不变量 Chapter 3.3 主应力 应力不变量 应力偏量 应力理论 Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式 应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程 Chapter 3.4 最大剪应力 最大剪应力八面体剪应力 Chapter 3.4 最大剪应力 在主应力坐标系中： 约束条件： 最大剪应力八面体剪应力 Chapter 3.4 引进拉格朗日乘子?，求泛函 的极值。 相应极值条件为 于是，可得如下方程组 最大剪应力八面体剪应力 Chapter 3.4 可解出三个法线方向 ，分别代入下式便可得到三个剪应力的极值，其中的最大者就是最大剪应力。 最大剪应力八面体剪应力 Chapter 3.4 剪应力的三个极值： 方向：与对应的两个主应力夹角为 45 。 O 最大剪应力八面体剪应力 Chapter 3.4 正八面体 最大剪应力八面体剪应力 Chapter 3.4 八面体剪应力 最大剪应力八面体剪应力 Chapter 3.4 最大剪应力八面体剪应力 八面体剪应力 八面体正应力?0为 由 可得八面体剪应力?0 为 应力理论 Chapter 3 外力、内力与应力 柯西公式与应力转换公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程 Chapter 3.5 平衡微分方程 笛卡尔坐标系中的平衡微分方程 考虑物体中A(x,y,z)点，其应力状态用直角坐标表示如下(如图标注) 而临近一点B(x+dx,y+dy,z+dz)的应力状态也用直角坐标示出，根据应力为位置函数的概念，将应力在附近展开，保留一级微量连同应计入的增量可得： Chapter 3.5 平衡微分方程 笛卡尔坐标系中的平衡微分方程 应力场： O Chapter 3.5 平衡微分方程 其中X,Y,Z表示单位体积力(与坐标轴同向为正) 图示正六面体代表通过A(x,y,z)及B(x+dx,y+dy,z+dz)两个点的一个微体，A,B点各有三个正交面。 A B Chapter 3.5 平衡微分方程 在前微面上 在右微面上 在上微面上 见下页图标注 x y z O Chapter 3.5 平衡微分方程 Chapter 3.5 平衡微分方程 考虑微单元