第七章 不可压缩理想流体二元流动.pptVIP

一、流体微团运动的分析 刚体运动：旋转、平移 流体运动：旋转、平移 变形(线变形和角变形) 刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流 动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为平移、旋转和变形运动三部分。 １、平移 微团的移动速度，是O 点坐标（x0,y0,z0）和时间t 的函数，即 几何形状不变，只是空间位置发生变化。 2、线变形 经dt 时间O→O＇， M→M＇， O＇M＇两点的距离为 显然较原来距离伸长了。其增量为 称为线性变形。 （1）单位时间内的线性变形为 称为线性变形速度。 （2）单位长度上单位时间内的线性变形，即单位长度上的线性变形速度为称为线变形率，为 （3）微团的膨胀速率 3、旋转和（纯）角变形 纯角变形：各点旋转角度相同，方向相反。 纯旋转：各点旋转角度相同，方向相同。 在流场中任取一其边长与坐标轴平行的长方体的流体微团，其边长为dx,dy,dz,在xoy坐标面上的投影为ABCD。 下面讨论矩形ABCD的三个顶点B，C，D在dt时间内相对于A点的运动情况,若只考虑C与D、B与A在y轴方向有相同的速度差，以及C与B、D与A在x轴方向有相同的速度差，经过dt时间后，微团由ABCD运动到AB’C’D’,其结果是CB边和DA边向顺时针方向旋转了微小角度dα,而CD边和BA边向逆时针方向旋转微小角度dβ 由于B、A的速度在y轴方向的分量不等，造成图中A与B’之间的垂直距离为 在x 轴方向的分量不等，造成图中A与B’之间的水平距离为 则可得： 同理 只发生角变形运动，使矩形 变成平行四边形 在一般情况下， ，则矩形ABCD在发生旋转的同时，还要发生角变形运动，结果也变成了平行四边形。可见，角变形运动和旋转运动都是由于速度分量在垂直它的方向上的变化(即 和 )来决定。 如果矩形ABCD看作是先发生逆时针旋转 然后角变形 再发生顺时针旋转 最后角变形 即 ABCD 旋转角度为： ABCD 变形角度为 ABCD 经过旋转dθ角度和角变形 角度后即运动至AB’C’D’，于是得： 旋转角速度 流体微团在垂直于Z轴的xoy平面上的角变形速度分量 ，即把单位时间的角变形之半定义为角变形速率 角变形率 流体微团的速度分解式 设微团质量中心A(x,y,z)点，速度分量为(u x,u y,u z )，与A 点相距极近的C 点（ x+dx,y+dy,z+dz）点在同一瞬时的速度在三个坐标方向上的分量为(u x’,u y’,u z’ ) 上式即为流体微团上任意两点速度关系的一般形式，称为海姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理。 右边第一项为平移速度； 右边第二项为线变形速度增量； 右边第三、四项为角变形引起的速度增量； 右边第五、六项为旋转引起的速度增量。 由此可见，流体运动除了平移、旋转以外多了线变形和角变形。 例： 设有平面流场，ux=x2y+y2,u y =x2-y2x,求此流场在点(1,2)处的线变形率、角变形率和旋转角速度。 解： 线变形率： uz=0,是平面流场 角变形率 旋转角速度 一、无旋流动与有旋流动 1、流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动(涡流)。 2、流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动(有势流动,简称势流)。 无旋满足下列条件： 注意：将流体分为有旋或无旋仅仅是根据流体质点本身是否有旋转运动，这里并不涉及流体本身运动的快慢，也不涉及流体质点本身运动的轨迹如何。如层流管流，流体质点运动轨迹不旋转，而质点是旋转的，所以是有旋的。 对于无旋运动， 函数 与流场中的速度有关,函数就叫做速度势函数 (简称速度势) 。因此，也可以说，存在速度势函数的流动为有势流动，简称势流。 在有势流动中一定存在关系 不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。 由数学分析可知， 是 成为某一标量函数 全微分的充分必要条件。 速度势函数 流函数 对于不可压缩流体的平面流动，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程 根据数学分析知道，上式正是使uxdy-u ydx成为某一函数Ψ的全微分的充分必要条件，即 于是得： 符合上式条件的函数ψ ＝ ψ （x，y）叫作二元不可压缩流场的流函数。 对于流体的平