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清华大学航天航空学院 王天舒（tswang@tsinghua.edu.cn） 分析动力学之Kane方程 本节内容 建立动力学方程的方法： 牛顿欧拉方法：方程简单，但需考虑约束力 是否有类似于牛顿方法的最少变量方法？ 第二类拉氏方程：不考虑约束力，只用到速度，要求导 第一类拉氏方程：可处理非完整约束，引入代数方程 Apell方程：引入伪速度，需计算加速度 如何取得最少变量： 笛卡尔坐标??广义坐标??广义速度??伪速度 如何建立方程 偏速度：质点系 由N个质点组成的系统，有f=3N-r-s个自由度，广义速度： 伪速度： 广义速率 偏速度 广义速率本质上为伪速度，标量 偏速度的作用是赋予广义速率以方向性，矢量。 伪速度可以看成是真实速度在偏速度上的投影。 质点系的Kane方程 质点速度的变分可以表示为： 虚功率原理： 定义广义主动力： 定义广义惯性力： Kane方程： 各广义速率所对应的广义主动力和广义惯性力之和为0 将力投影到伪速度上所得到的平衡方程。 牛顿方法 虚功率原理 变量(坐标)： 基本方程： Kane方法 独立变量(伪速度) 基本方程： 消去约束力，减少变量数 速度变分不一定独立 其中： 方程是否仅含有广义速率而不包含广义坐标？ 质点系Kane方程的基本思路 例1：质点系的Kane方程 广义速率： 质点的速度为： 偏速度： 主动力： 广义主动力： 惯性力： 广义惯性力： 例1：质点系的Kane方程 例1：质点系的Kane方程 偏速度：刚体 设刚体B上的P1,P2,…,PN点处分别作用有主动力F1,F2,…,FN。取刚体的上的O点为基点，取伪速度为u1,u2,…,uf。 设刚体基点O的速度、角速度与伪速度的关系是： 偏角速度 偏速度 刚体上的任意一点P的速度为 P点的偏速度为 刚体上任一点的偏速度可以表示为基点的偏速度的函数 广义主动力为: 利用体积公式 F是外力的主矢量 Lo是外力的主矩 刚体的广义主动力 刚体的广义惯性力 广义惯性力为: 令 刚体的广义惯性力 刚体的广义惯性力 广义惯性力为： 当O与质心C重合时， 因此Kane方程为： 为了与广义主动力形式一样 广义惯性力写为 刚体的Kane方程 牛顿欧拉方法 变量(坐标)： 基本方程： 随体坐标系原点取在质心上： 虚功率原理 Kane方法 独立变量(伪速度) Kane方法的解题步骤： 广义坐标 伪速度 加速度 广义力 刚体Kane方程的基本思路 例2：刚体定点转动 解：设OXYZ为参考坐标系，oxyz为固连的主轴坐标系。 设外力对O点的力矩为LO。 o x y z X Y Z 以欧拉角为广义坐标。 设转动惯量矩阵为 刚体的角速度： 伪速度选为： （这样选伪速度保证了广义速度的反解存在） 角速度用伪速度表示为： 因此，可以“看出”偏角速度为： 刚体的角加速度： 在动系oxyz中求导： 角加速度用广义速度表示会复杂得多： 角加速度在动系和惯性系中是一样的。 根据定义，广义主动力为： 由于 因此 例2：刚体定点转动 例2：刚体定点转动 广义惯性力为： 以r＝1为例进行计算： 因此得到 类似求出 代入Kane方 程，得到 这正是描述刚体运动的欧拉方程 为什么会这样？ 这的确是欧拉动力学方程。这可作为 特例检验Kane方程是否正确。 向i, j, k方向投影 如果一个矢量向i, j, k方向投影都为零， 则该矢量为零。 例2：刚体定点转动 例3：非完整系统 两自由度系统 定义广义速率： 质心的速度： 角速度： 偏速度和偏角速度： 质心的加速度： 角加速度： O x y vA ? C A e1 e2 外力垂直于伪速度： O x y vA ? C A e1 e2 广义惯性力： 系统方程： 或： 例3：非完整系统 例4：复杂平面问题 q1 q2 q3 q4 e1 e2 O i j C P 圆盘在平面上运动，质量为M，对质心的转动惯量为JC。其上有光滑小槽，一小球通过弹簧可作相对直线运动。小球质量为m，弹簧系数为k，原长为l0。为方便设圆盘质心C在小槽中。试建立系统运动微分方程。 解：建立坐标系。选广义坐标q1,q2,q3,q4。 运动分析 例4：复杂平面问题 q1 q2 q3 q4 e1 e2 O i j C P 选伪速度 反解存在 则 求偏速度 例4：复杂平面问题 设系统所受力、力矩为： 弹簧力是内力，如何处理？ 广义主动力为： q1 q2 q3 q4 e1 e2 O i j C P