高等代数(下)期终考试题及答案(C卷).docVIP

高等代数(下）期末考试试卷（C卷） 一. 选择题（每空2分，共12分） 1．( D )下列集合哪一个是R n 的子空间 2．( B ) 令=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列哪一个映射是R3的线性变换 3. (C) 如果, 是线性空间V的两个子空间, 且, , , 那么?为 (A) 2 　　 (B) 3 　 (C) 4 　 (D) 5 4. （C ）若4阶方阵A的初等因子为, ? +3, ? ? 2. 则 A的不变因子是 (Ａ) 1，（? +3），（? +2），； (B) 1，1， (? +3) (? + 2) ，； (C）1，1，（? +3），； (D) 1，1，(? +2)，； 5．（ B ）设矩阵A的全部不同特征值为，则下列哪一说法与A可对角化不等价 A有n个线性无关的特征向量； ; ; ( D) A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积; 6.（D） 在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W的维数为 (A) 10; （B）4； (C) 9； （D）6；. 二. 填空题（每空２分，共18分） 1、已知是数域P上的一个固定的数，而 是的一个子空间，则＝_______， dim ()＝________. 2. 设是的两个线性变换，定义如下 , () 则 _________. 3. 已知的标准形为，则A的特征多项式 ，的最小多项式为___________。 4. 设，则向量是A的属于特征值 的特征向量． 5． 若A=与B=相似，则 x ?_____, y=______。 6．设三阶实对称矩阵A的特征值，则。 三.判断题(对的打”√”,错的打”X”,每小题2分,共10分) 1. 对于矩阵的加法和数乘, 是的子空间 ( 　） 2. 任一实对称矩阵A都与对角阵既相似又合同 ( ) 3. 设是数域P上线性空间V的线性变换, W是一维-子空间, 那么W中任何 一个非零向量都是属于特征值的特征向量. ( ) 4．在欧几里得空间V中,保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换 必为 正交变换． （ ） 5．与等价当且仅当它们有相同的行列式因子. （　） 四．计算题( 共3小题, 33分) 1．设, 和, 是线性空间的两组基, 是的线性变换，已知 , (1) 求在基, 下的矩阵A； (2) 求基, 到基, 的过渡矩阵X ； (3) 求在, 下的矩阵。. (7分) 2. 设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为 （1）令，求； （2）若与正交，求的值. （10分） 3．设二次型， （1）写出二次型所确定的矩阵； （2）用正交线性替换将二次型化为标准形； （3）求二次型的秩； （4）判断二次型的正定性． （16分） 五. 证明题 (每题9分，共27分) 1. 设与分别是齐次方程组的解空间，证明： 2．证明：若Ａ是实对称矩阵，则中分别属于Ａ的不同特征值的特征向量必正交 3．设是一个n维欧氏空间，是的一个对称变换，证明：值域是核的正交补. 答案 幻灯片 1 幻灯片 2 幻灯片 3 幻灯片 4 幻灯片 5 幻灯片 6 幻灯片 7 幻灯片 8 幻灯片 9 幻灯片 10 幻灯片 11 幻灯片 12 幻灯片 13 幻灯片 14 幻灯片 15 幻灯片 16 幻灯片 17 幻灯片 18 幻灯片 19 幻灯片 20 幻灯片 21 幻灯片 22