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于是得s2的一个置信水平为1-a的单侧置信区间 s2的置信水平为1-a的单侧置信上限为 * 高等院校非数学类本科数学课程 —— 概率论与数理统计 大 学 数 学（四） 第17讲 区间估计 脚本编写：肖庆丰 教案制作：肖庆丰 第七章 参数估计 理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握 样本均值、样本方差及样本矩的计算。 了解卡方分布、t分布和F分布的定义及性质，了解分布 分位数的概念并会查表计算。 了解正态总体的某些常用统计量的分布。 理解点估计的概念。 掌握矩估计法和极大似然估计法。 了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、一致性）。 理解区间估计的概念。 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。 了解两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。 第七章 参数估计 第四节 区间估计 一、区间估计的方法与步骤 二、正态总体均值的区间估计 三、正态总体方差的区间估计 四、两个正态总体均值差的区间估计 五、两个正态总体方差比的区间估计 对一个未知量, 人们在测量或计算时, 常不以得到近似值为满足, 还需估计误差, 即要求知道近似值的精确程度(亦即所求真值所在的范围). 类似地, 对于未知参数q, 除了求出它的点估计 外, 还希望估计出一个范围, 并希望知道这个范围包含参数q真值的可信程度. 这样的范围通常以区间的形式给出, 同时还给出此区间包含参数q真值的可信程度. 这种形式的估计称为区间估计. 一、区间估计的方法与步骤 置信区间 设总体X的分布函数F(x;q)含有一个未知参数q, q??(Q是q的可能取值范围), 对于给定值a(0a1), 若由样本X1,X2,...,Xn确定的两个统计量q = q(X1,X2,...,Xn)和`q =`q(X1,X2,...,Xn)(q `q), 对于任意q ??满足 P{q(X1,X2,...,Xn) q `q(X1,X2,...,Xn)}?1-a (1) 则称随机区间(q ,`q)是q的置信水平为1-a的置信区间, q 和`q分别称为置信水平为1-a的双侧置信区间的置信下限和置信上限. 当X是连续型随机变量时, 对于给定的a, 总是按要求P(q q `q)=1-a求出置信区间, 而当X是离散型随机变量时, 对于给定的a, 常常找不到区间(q ,`q)使得P(q q `q)恰为1-a. 此时去找区间(q ,`q)使得P(q q `q)至少为1-a, 且尽可能地接近1-a. (1)式的含义为:若反复抽样多次(各次得到的样本的容量相等, 都是n), 每个样本值确定一个区间(q ,`q), 每个这样的区间要么包含q的真值, 要么不包含q的真值, 按大数定律, 包含q真值的约占100(1-a)%, 不包含q真值的约占100a%, 例如, 若a=0.01, 反复抽样1000次, 则得到的1000个区间中不包含q真值的约仅为10个. 例 设总体X~N(m,s2), s2为已知, m为未知, 设X1,X2,...,Xn是来自X的样本, 求m的置信水平为1-a的置信区间.解 按标准正态分布的上a分位点的定义, 有 0 a/2 za/2 a/2 -za/2 这样就得到了m的一个置信水平为1-a的置信区间 常写成 如果取a=0.05, 即1-a=0.95, 又若s=1, n=16, 查表得za/2=z0.025=1.96. 于是得到一个置信水平为0.95的置信区间 再者, 若由一个观察值算得样本均值的观察值`x =5.20, 则得到一个区间(5.20?0.49), 即 (4.71, 5.69) 最后得到的区间(4.71,5.69)已经不是随机区间了, 但我们仍称它为置信水平为0.95的置信区间. 其含义是: 若反复抽样多次, 每个样本值(n=16)按(4.7)式确定一个区间, 按上面的解释, 在这么多的区间中, 包含m的约占95%, 不包含m的约仅占5%. 现在抽样得到区间(4.71,5.69), 则该区间属于那些包含m的区间的可信程度为95%, 或该区间包含m这一陈述的可信度为95%. 然而, 置信水平为1-a的置信区间并不是惟一的. 以上例来说, 若给定a=0.05, 则又有 也是置信水平为0.95的置信区间. 而比较两个置信区间 易知, 象N(0,1)分布那样其概率密度的图形是单峰且对称的情况, 当n固定时, 以形如(5)那样的区间其长度为最短. 我们自然选用它.通过上例, 可看到求未知参数q的置信区间的具体做法如下(1)寻求一个样本X1,X2,...,Xn的函数: W=W(X1,X2,...,Xn;q),它包含待估的参数q, 而不