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PAGE PAGE 6 第六章 数理统计的基本概念 前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。其研究方法是归纳法（部分到整体）。对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。 §1 总体与样本、 统计量 一、总体与个体 1、总体：试验的全部可能的观察值称为总体. 2、个体：总体中的每个可能观察值称为个体 3、样本：有 ， 注： 例1的样本， 解： ， 例2 总体的样本， 解：， 5、统计量：是 。， 例3 （是） （不是） 注：常用的统计量定义 (1)样本平均值 其观察值 (2)样本方差 其观察值 (3)样本标准差 其观察值 (4) 样本 k 阶(原点)矩 其观察值 (5)样本 k 阶中心矩 其观察值 二、 经验分布函数 1.定义：设（）是来自总体的样本，用表示：，中不大于的随机变量的个数，定义经验分布函数为 。 设()是样本的一个观察值，令这个数值由小到大的顺序排列后为：≤≤≤……≤，对∈R 由定义很容易得到经验分布函数的观察值： 通常也称是总体的经验分布函数,在不至于混淆的情况下统一用来表示总体的经验分布函数。 显然，是单调非降右连续的跳跃函数（阶梯函数），在点处有间断，在每个间断点的跃度为，（=1，2，3，…，）且，=0，=1，它满足分布函数的三个性质，所以必是一个分布函数。 一般地，随着的增大，越来越接近的分布函数，关于这一点，格列汶科（Glivenko）在1953年给了理论上的论证，即： 2.定理1(Glivenko-Th)：若总体的分布函数为，经验分布函数为，则对，有： [] 定理表明，以概率1一致收敛于，即：可以用来近似，这也是利用样本来估计和判断总体的基本理论和依据。 三、常见分布 1、： 注：(1) (2)可加性 则有 (3) (4) 分位点 。 2、：变量 t 分布又称学生氏(Student)分布. 注：(1) (2) 分位点: ,由分布的对称性知. 3、： 注：(1) (2) (3)分位点 的 。 例4、设是来自正态分布总体的简单随机样本，已知 ，求 解： 所以由定义 比较得 三、正态总体的样本均值与样本方差的分布 定理1 则 定理2 则 定理3 则 定理4 定理5 和