微分方程及其应用.doc

第九章 微分方程及其应用 §9.1 微分方程及其相关概念 所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。 例如，以下各式都是微分方程： = 1 \* GB2 ⑴ SKIPIF 1 0 . = 2 \* GB2 ⑵ SKIPIF 1 0 = 3 \* GB2 ⑶ SKIPIF 1 0 . = 4 \* GB2 ⑷ SKIPIF 1 0 . = 5 \* GB2 ⑸ SKIPIF 1 0 . 只含一个自变量的微分方程,称为常微分方程,自变量多于一个的称为偏微分方程。本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。 微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。例如，⑴、⑶为一阶方程，⑵、⑷为二阶方程，而⑸为n阶方程。 微分方程中可以不含有自变量或未知函数，但不能不含有导数，否则就不成为微分方程。 微分方程与普通代数方程有着很大的差别，建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。如果P196 有一个函数满足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程变成（对自变量的）恒等式，这个函数就叫做微分方程的解。例如 SKIPIF 1 0 显然是 = 1 \* GB2 ⑴的解，因为 SKIPIF 1 0 。 若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解，例如 SKIPIF 1 0 就是 = 1 \* GB2 ⑴的通解。 从通解中取定任意常数的一组值所得到的解，称为微分方程的特解。例如 SKIPIF 1 0 就是 = 1 \* GB2 ⑴的一个特解。 用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件，当自变量取某个值时，给出未知函数及其导数的相应值的条件称为初始条件。在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条件。例如，如果 = 1 \* GB2 ⑴的初始条件为 SKIPIF 1 0 ，则在代入到通解 SKIPIF 1 0 后，可以求得 SKIPIF 1 0 ，从而得到特解 SKIPIF 1 0 。 一般的，因为 SKIPIF 1 0 阶微分方程的通解中含有 SKIPIF 1 0 个独立的任意常数。需要有 SKIPIF 1 0 个（一组）定解条件，所以 SKIPIF 1 0 阶方程的初始条件为： SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 个给定常数。 微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线。通解的几何图形是一族积分曲线，特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的某一条。 例如，方程 = 1 \* GB2 ⑴的积分曲线族如图9－１所示。其中 SKIPIF 1 0 就是满足初始条件 SKIPIF 1 0 的特解。 §9.2 微分方程的经典案例 自由落体运动的规律 自由落体运动是指物体在仅受到地球引力的作用下，初速度为零的运动。根据经典力学的牛顿第二定律：物体动量变化的大小与它所受到的外力成正比，其方向与外力的方向一致。当物体的运动速度 SKIPIF 1 0 的绝对值不大（与光速=3 SKIPIF 1 0 km/s相比较）时，其质量 SKIPIF 1 0 可以是一恒量。于是这一运动定律能表达成 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （1） 其中 SKIPIF 1 0 表示物体所受外力的合力。 对于仅受到地球引力作用的自由落体的运动，则有： SKIPIF 1 0 这里 SKIPIF 1 0 表示重力加速度，其大小一般取为： SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 表示自由落体运动的路程，其大小以 SKIPIF 1 0 表示之。 注意到 SKIPIF 1 0 的方向与 SKIPIF 1 0 的方向一致，将 SKIPIF 1 0 代入式 = 1 \* GB2 ⑴后得到自由落体运动立场大小变化的规律： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （2） 运动规律式 = 2 \* GB2 ⑵表示一个微分方程问题。等式（2）的左端是路程大小 SKIPIF 1 0 的二次微商