极限运算法则两个重要极限.doc

复习旧课：1．无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系 导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限 2．3极限的运算法则 2．3．1极限的性质 定理1：（唯一性）如果极限 SKIPIF 1 0 存在，则它只有一个极限。即若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 定理2 ： （有界性）若极限 SKIPIF 1 0 存在，则函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的某一空心邻域内有界 定理3 ： （局部保号性）如果 SKIPIF 1 0 ，并且 SKIPIF 1 0 （或 SKIPIF 1 0 ），则在 SKIPIF 1 0 的某一空心邻域内，有 SKIPIF 1 0 （或 SKIPIF 1 0 ） 。 推论 若在 SKIPIF 1 0 的某一空心邻域内有 SKIPIF 1 0 （或 SKIPIF 1 0 ），且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （或 SKIPIF 1 0 ） 。 2．3．2极限的运算法则 定理1： 设 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,则 (1) SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 (2) SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 .(常数),则 SKIPIF 1 0 (3) SKIPIF 1 0 证明 因为 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ，利用2。2定理，它们可以分别写为: SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 均为无穷小量，则有： (1) SKIPIF 1 0 + SKIPIF 1 0 =A+B+[ SKIPIF 1 0 ] 由2．2定理知 SKIPIF 1 0 仍为无穷小量,所以 SKIPIF 1 0 + SKIPIF 1 0 以A+B为极限. 即 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 . 容易证明： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例1 求 SKIPIF 1 0 解 SKIPIF 1 0 ＝15 例2 求 SKIPIF 1 0 解 SKIPIF 1 0 ＝ SKIPIF 1 0 例3 求 SKIPIF 1 0 解 因为 SKIPIF 1 0 ＝0根据无穷大于无穷小的关系 所以有 SKIPIF 1 0 ＝ SKIPIF 1 0 注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。 例4 求 SKIPIF 1 0 解 SKIPIF 1 0 ＝ SKIPIF 1 0 ＝ SKIPIF 1 0 例5 SKIPIF 1 0 解 SKIPIF 1 0 ＝ SKIPIF 1 0 ＝ SKIPIF 1 0 例 6 求 SKIPIF 1 0 解 SKIPIF 1 0 ＝ SKIPIF 1 0 结论： SKIPIF 1 0 例7 求 SKIPIF 1 0 解 SKIPIF 1 0 ＝ SKIPIF 1 0 ＝ SKIPIF 1 0 小结： 1．极限运算法则 2．求极限方法 1）设 SKIPIF 1 0 为多项式，则 SKIPIF 1 0 。 2） SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 均为多项式，且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 3）若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 4）若 SKIPIF 1 0 为“ SKIPIF 1 0 ”型时，