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高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第三节 曲面及其方程 一 曲面方程的概念 1 曲面方程是平面解析几何中曲线方程概念的推广: (1) 就叫做曲面S的方程.而曲面S叫做方程(1)的图形. ②.不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1). 那么,方程 有如下对应关系:①.曲面S上任一点的坐标都满足方程(1). 定义:给定空间曲面S及三元方程F(x,y,z)=0 (1) 如果它们 下面,我们举例说明. 2 建立空间曲面方程的思想方法: 空间曲面看成流动点的轨迹. 而方程看成相应的流动坐标 所满足的等式.以此思想来建立曲面方程的方法如下: ①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z) ②以动点所满足的条件得到等式. ③把坐标代入,转化为方程. x y z s F(x,y,z)=0 例1 建立球心在点M0(x0,y0,z0), 半径为R的球面方程. ③把坐标代入,转化为方程. ②以动点所满足的条件得到等式. ①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z) 1.设M(x,y,z)是球面上的任一点. x y z M0(x0,y0,z0) M(x,y,z) 点所满足的条件得到等式) 2.那么M点到球心M0(x0,y0,z0)的距离为半径R(这就是以动 3.把坐标代入,转化为方程. 半径为R的球面方程为x2+y2+z2=R2 因为球面上任一点都适合等式(*),其坐标满足(**).从而 满足方程 (2).反之,不在球面上的点必不满足(*),其坐标不满足 (**),从而不满足方程(2). 故(2)为以M0(x0,y0,z0)为球心,R为 半径的方程.如果球心为(0,0,0), 则以球心为坐标原点(0,0,0), 形状. 例2. 方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0.表示怎样的曲面的形状? 曲面代表圆心为(1,-2,-1),半径为 的球面. 3. 空间解析几何研究的两个基本问题: (1). 已知一空间曲面,建立其方程. (2). 已知坐标x,y,z 的一个方程,研究该方程所代表的曲面 一般二次方程Ax2+Ay2+Az2+Bx+cy+Dz+E=0表示球面. 特点是①平方项系数相等.②不含交叉项. 推广到空间中,所以球心的坐标为: 由两点的距离公式可得到,球半径为 例3 球的一条直径的两端为(1,-2,3)和(-3,4,1),求此球面方程. 解:首先,平面几何中关于定比点及线段中点坐标的公式可 所以球面方程为: (x+1)2+(y-1)2+(z-2)2=14 二 旋转曲面 旋转一周,得到一个以z轴为轴的旋转曲面. 定义:一条平面曲线C,绕该曲线C所在的平面内一直线L旋转 一周所成的曲面,叫做旋转曲面,这条直线L叫做旋转曲面的 轴.曲线C称为旋转曲面的母线. 垂直于旋转轴的平面,如果与旋转面相交,它们的交线是中心 在轴上的圆周. 在坐标系下建立旋转曲面的方程. 设yoz平面内有一已知曲线C,方程为f(y,z)=0.将其绕z轴 C L x y z o f(y1,z)=0 (1) 现在我们利用已知曲线方程f(y,z)=0建立 旋转曲面方程. 在曲面上找一点M.它是曲线C上对应 点(同一圆上的点) M1旋转得到的.M1(0, y1,z).因为M1在C上,它满足曲线C的 方程 因为M,M1到z轴的距离相等,有 代入方程(1),得到 这就是旋转曲面方程. 特点: yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕z轴旋转.得到的旋转曲面 . 如果yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕y轴旋转.得到的旋转曲面方 代入 代入 方程z不变.而y用 方程z不变.而y用 旋转得到的曲面方程是x不变,把y变成 成的旋转曲面的方程. 解: 绕x轴旋转一周,x不变,y用 这曲面叫做旋转椭球面. 同理,我们可以得到xoy,xoz平面上的曲线,它们绕轴旋转 得到旋转曲面的方程.例如在xoy平面上的曲线f(x,y)绕x轴 例3:把xoy坐标面上的椭圆 绕x轴旋转一周,求所 代入,就得 到所求的方程 例4 将xoy平面上的双曲线 解:绕x轴一周的曲面方程为 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 三 柱 面 下面我们研究柱面方程.考虑母线平行于坐标轴的柱面. 定义:动直线L始终平行于一固定直线B沿另一条曲线C移动 而生成的曲面叫做柱面. 动直线L称为母线.曲线C称为柱面 的准线. 当母线与准线相互垂直时,这个柱面称为直立柱面, 简称柱面. 绕x,y轴旋转一周,求其方程 曲面方程为 绕y轴一周的 L C B 则它一定不在这空间曲面上. 例:方程表示怎样的曲面. 方程 表示在xoy平面上圆心在坐标原点,半径为R的一个圆. 在空间表示一曲面. 该曲面的形状是:它不含有z坐标,因此不论空间点的z坐标, 只要其横坐标