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第九章 平衡随机过程和各态历经过程 在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。 例如，飞机在某一水平高度h上飞行时，由于受到气流的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设计高度h水平上下随机波动，此时飞机的实际飞行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们把它看作是平衡的随机过程。 此外当我们知道一个随机过程是平稳过程时，它应不随时间的推移而变幻无常。例如当我们要测定一个电阻的热噪声的统计特性，由于它是平稳过程，因而我们在任何时间进行测试都能得到相同的结果。 §9.1 严平稳随机过程及其数字特征 定义严平稳随机过程：对于任意的t，随机过程X(t)的任意n维概密度都有 则称X(t)为严平稳随机过程。 研究平稳过程的意义在于：该过程在任何时刻计算它的统计结果都是相同的。由定义知平稳随机过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这一特性具体反映在随机过程的一、二维概率密度及数字特征方面具有如下性质： 性质9.1 若X(t)为平衡过程，则它的一维概率密度与时间无关 证 设X(t)的一维概率密度函数为 ，由于X(t)为平稳过程 ∴ 令 则 由此我们可求平稳过程X(t)的均值、均方值、方差。 如图9.1所示，图中细实线表示随机过程的样本函数，粗实线表示随机过程的数学期望，虚线表示随机过程对数学期望的偏差。 性质9.2 平稳过程X(t)的二维概率密度只 与 的时间间隔有关，而与时间起点无关。 证：设X(t)的二维概率密度函数为 由于X(t)为平稳过程，所以对任意 有 若令 ，则 而 正是随机过程二维概率密度函数的时间间隔，令 ，则： 此式表明，平稳随机过程的二维概率密度函数仅依赖于 ，而时间的个别值 无关。由此，我们可以进一步来讨论平稳过程X(t)的自相关函数应具有什么样的表达形式。 顺便指出，由一个随机过程的平稳性研究可推广到关于两个随机过程的平稳性研究，可以这样说，若两个随机过程的联合概率密度函数不随时间的平移而变化，与时间的起点无关，则可称这两个随机过程是联合平衡的，或称平稳相依。 §9.2 宽平稳随机过程 从上面介绍的严平稳随机过程的定义知，要判断一个随机过程是否是严平稳，需要确定该随机过程的任意n维概率密度函数族，它的变化是否与时间的平稳无关，这本身就是一个十分困难的工作，然而在工程上根据实际需要，我们往往只在所谓的相关理论范围内考虑随机过程的平稳性问题，这里所指的相关理论，就是指随机过程的数字特征，即数学期望、相关函数和今后要介绍的功率普密度等。当在相关理论又可指研究随机过程的一、二阶矩理论。 前面已经介绍过，对于一个随机过程X(t)，我们当然希望能建立起它的多维分布函数，因为随机过程的多维分函数能较完整地描述随机过程的统计特性，但是要建立多维分布函数往往很困难，因此我们一般在相关理论范围内也就是用数字特征来描述过程的重要特性，这种用数字特征来描述过程X(t)统计特性变化规律，对很多实际问题往往已能获得很好的效果，可以提取到所需的参数。 定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如果 常数 且 则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。 显然由宽平稳定义可知，要求 就要考虑X(t)的一维概率密度函数 和二维概率密度函数 。 下面我们来分析一下严平稳和宽平稳之间的关系。对于一个随机过程X(t)，如果它是严平稳的，且它的二阶矩存在及均方有界 ，则由严平稳 双因严平稳的一维概率密度与时间无关，即 ∴ 常数 又因严平稳的二维概率密度只与时间间隔有关，即 顺便指出，今后凡提到“平稳过程”，通常是指宽平稳过程。 例4.1 设Y是随机变量，试分别考虑随机过程 的平稳性。 解 ∵Y是随机变量，∵ 这一过程是一个与时间无关的特殊的过程，它的任何n维概率密度函数 与时间无