庆祝上海财经大学应用数学系成立10周年-数学研究所.ppt

不变环面、Poincare映射 （1）圆周的保向（微分）同胚: 旋转数（Poincare): 定理1.1（Poincare) 保向同胚存在旋转数，且旋转数不依赖圆周上点的选取。旋转数是有理数当且仅当同胚的某个有限次迭代映射有不动点。 旋转数是一个拓扑不变量。 定理1.2（Denjoy,1932) 圆周的保向同胚属于 , 且旋转数 是无理数，则 它拓扑等价于标准旋转 定理由Poincare1885年猜测（对三角多项式函数）。 Denjoy还举反例说明 不成立。 稳定性（解析同胚解析共轭于旋转映射） 定理1.3（Arnold 1960, Ruessmann 1970, Yoccoz 1989) 设 A是 的单位圆周映射，其旋转数 是无理数，其连分数表示为 . 设 如果 , 则存在 ，使得如果 则存在解析同胚 ，使得： . 而且丢番图条件是最优的。 到环面的推广（Arnold 1961, Moser 1962, 1990) 光滑共轭。 最优结果？ 刚性 定理1.4（Herman, Yoccoz) 若 是解析保向微分同胚，旋转数满足某种丢番图条件，则 解析共轭于标准的圆周旋转。所给的丢番图条件是最优的（Yoccoz）. 定理1.5 （Herman 1976, Khanin Teplinski 2009) 是 保向微分同胚，旋转数满足 丢番图条件，0≤??≤1, ?-?1. 则 （1+?-?)-次光滑共轭于标准旋转。 定理1.6（Khanin Khmelev 2003) 若两个圆周保向同胚具有相等的二次无理旋转数，都存在唯一的非光滑点，且在此点左、右导数都为正数，而且比值相等，在其余点都是（2+?）次光滑的，且则存在?0，使得此二同胚（1+?）次光滑共轭。 证明方法：重整化技术、交叉比 （2）环域的保面扭转映射 定理2.1（Moser 1962, Herman 1983) 环域上（3+?）次可微的标准保面扭转映射的（3+?）次扰动（扰动后的映射还是保面积映射），存在同伦于边界的闭曲线，而且闭曲线所占据环面的测度随着扰动的消失趋于环面的测度。 定理2.2（Poincare-Birkhoff) 环域上保面扭转微分同胚至少存在两个不动点。 定理2.3 （Mather,1982) 设A是环域到自身保持边界旋转的单调扭转同胚，其在边界的旋转数为αβ, 对任一γ：αγβ, 存在实轴上一个弱保序映射f (t) 使得 f(t+1)=f(t)+1 A(f(t),g(t))=(f(t+ γ ), g(t+ γ )) 其中 g(t)也是一个弱保序的单位圆周的提升映射，由f 和 A唯一确定，与f有相同的连续点 和间断点。 若t是f的连续点，则t+ γ，t- γ 也是； 若γ=p/q, 则存在 (x,y) 使得 Aq (x,y)=(x+p,y); 若γ是无理数，则f在任何区间上不为常数。 曲线x=f(t), y=g(t), -∞t +∞是一条环形不变曲线（可能间断），其闭包可能是 Cantor集。 （3）解析函数的线性化 定理 3.1 (Siegel 1942) 复平面原点领域的一个解析函数，若其在零点的导数在单位圆上，且满足丢番图条件，则在原点邻域解析等价于线性部分。 定理3.2 (Yoccoz 1984) 上述结果对Bruno条件也成立，且反之亦然。若不满足Bruno条件，则二次函数不可线性化（此时在原点的任何邻域存在周期点）。 定理3.2 (Marco 1993) 给出原点邻域全纯函数不可线性化且没有周期点的充要条件（强Bruno条件）。 早年Poincare的结果：函数在原点的导数不在单位圆上，总可以线性化。 太阳系稳定吗？ KAM理论并没有解决太阳系的稳定性问题，哈密尔顿系统的稳定性仍然是一个公开问题。即便大多数初始状态出发的天体确实在做拟周期运动，但是目前的天体是否是从这样的初始状态出发也无法验证；另一方面，太阳系在宇宙中不是孤立的，各天体间也不只受万有引力作用，特别是量子效应和引力的相对论效应作用，在宇宙时间尺度内也许会发生显著的变化，这个问题仍然是一个有意义的问题，不过已经远超出经典力学的