第十节连续函数的运算与初等函数的连续性.ppt

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 连续函数的运算与初等函数的连续性 由连续函数的定义和极限的四则运算法则, 有 一、连续函数的和、差、积及商的连续性 定理1 例如, 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理2 如果函数y=f(x)在其定义区间 是连续且单调增加 (或减少), 则它的反函数 在 上也连续且单调增加 (或减少) 二、反函数与复合函数的连续性 注 内函数的极限存在, 外函数在该极限点连续, 则求复 合函数的极限时极限符号可以与外函数符号互换; 例8 解 例9 解 定理4 注　定理4是定理3的特殊情况. 例 求 解 原式 说明 若 则有 求下列函数极限： 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ ★ (均在其定义域内连续 ) 三、初等函数的连续性 其中定义区间是指包含在定义域内的区间. 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一 定连续; 注　 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 例如 在其定义区间内都是连续函数. 求函数 的连续区间, 并求 解 所以 的连续区间为 函数 的连续区间是( ) (4) 解 注 初等函数求极限的方法: 代入法. 例10 解 例11 解 消去未定式 求极限 解 于是 归纳求极限的常见方法: 2. 利用重要极限 3. 利用函数的连续性 过程, 常常需要因式分解、约分、通分或分子分母同乘以函数. 来化简. 记住结论: 型的求极限 1. 利用极限的四则运算法则, 以及对于