高数课件8求导法则.ppt

* 初等函数微分法 求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。 一、和、差、积、商的求导法则 定理 证(1)、(2)略. 证(3) 注 ① （1）即是和、差的导数等于导数的和、差 （2）即是乘积的导数等于第一个因子的导数 乘以第二个因子再加上第一个因子乘以 第二个因子的导数 （3）即是商的导数等于分子的导数乘以分母 减去分子乘以分母的导数，再除以分母 的平方 ② （1）可推广到任意有限个可导函数的情形 ③ （2）也可推广到任意有限个函数的情形 ④ 作为（2）的特殊情况 即常数因子可以提到导数符号的外面 即线性组合的导数等于导数的线性组合 ——说明求导是一线性运算 ⑤作为（3）的一种特殊情况， 二、例题分析 例1 解 例2 解 例3 解 同理可得 例4 解 同理可得 例5 解 三、反函数的导数 定理 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例6 解 同理可得 例7 解 特别地 四、复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经有限次四则运算的结果——的导数，但是像 等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求 它们的导数 先看一个例子 例8 这里我们是先展开，再求导，若像 求导数，展开就不是办法，再像 求导数，根本无法展开，又该怎么办？ 仔细分析一下，这三个函数具有同样的复合结构 我们从复合函数的角度来分析一下上例的结果。 再如 注意到 由以上两例可见：由 复合 而成的函数 的导数 恰好等于 对中间变量 的导数 与中间变量 对自变量 的导数 的乘积 ——这就是链式法则 定理 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 证 注 1.链式法则——“由外向里，逐层求导” 2.注意中间变量 推广 例9 解 例10 解 例5 解 例11 解 例12 解 例13 解 同理可得 例14 求幂函数的导数 例15 解 注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则 是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握 2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层 3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。 *