林寿数学史教案-第九讲：19世纪的几何.pdf

第九讲： 19 世纪的几何 1、几何学的变革 几何学的基础：现实空间与思维空间。 1.1 微分几何 平面曲线理论 17 世纪基本完成。 1696年洛比塔 （法，1661－1704 年）的 《无 穷小分析》完成并传播了平面曲线理论。 1760 年欧拉（瑞， 1707－1783 年）《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面 理论， 1795 年蒙日（法， 1746－1818 年）《关于分析的几何应用的活页论文》借 助微分方程对曲面族深入研究。 蒙日简介。 1.2 非欧氏几何 从公元前 3 世纪到 18 世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正 确，但“平行公设”始终让他们耿耿于怀。 萨凯里（意， 1667－1733 年） 1733 年《欧几里得无懈可击》提出“萨凯里 四边形”。1763 年克吕格尔（德， 1739－1812 年）对平行线公设是否能由其它公 理加以证明表示怀疑。 1766 年兰伯特（法， 1728－1777 年）《平行线理论》指出 通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学道路。 1813 年高斯（德， 1777－1855 年）：反欧几里得几何，非欧几里得几何，担 心世俗的攻击而未发表。 1826 年罗巴切夫斯基（俄， 1792－1856 年）《简要论述 平行线定理的一个严格证明》 ，历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。 1832 年 J?鲍约（匈， 1802－1860 年）《绝对空间的科学》，所谓“绝对几何”就是非欧 几何。 黎曼（德， 1826－1866 年） 1854 年《关于几何基础的假设》建立了黎曼几 何。在黎曼几何中，过已知直线外一点不能作任何平行于该给定直线的直线。 黎曼简介。 1868 年贝尔特拉米（意， 1835－1899 年）《论非欧几何学的解释》，在“伪 球面”模型上实现（片段上）罗巴切夫斯基几何。 1871 年克莱因（德， 1849－ 1925 年）“圆”模型实现罗巴切夫斯基几何， 1882 年庞加莱（法， 1854－1912 年）也对罗巴切夫斯基几何给出了一个欧氏模型，克莱因－庞加莱圆。 1 1.3 射影几何 将射影几何变革为具有独立目标与方法的学科的数学家是庞斯列。 综合方法。 1822年庞斯列（法， 1788－1867 年）的《论图形的射影性质》 ， 探讨图形在投射和截影下保持不变的性质，阐述了连续性原理、对偶原理。 代数方法。 1827 年默比乌斯（德， 1790－1868 年）的《重心计算》中的齐 次坐标， 1829年普吕克（德， 1801－1868 年）的三线坐标。 1847 年施陶特（德， 1798－1867 年）的《位置几何学》不借助长度概念就 得以建立射影几何。凯莱（英， 1821－1895 年）和克莱因（德， 1849－1925 年） 在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何。 1.4 统一的几何学 1872 年克莱因（德， 1849－1925 年）在埃尔朗根大学的教授就职演讲《关 于近代几何研究的比较考察》 ，阐述了几何学统一的思想。 克莱因简介。 1.5 几何学的公理化 19 世纪的数学家重新审视《原本》时发现它有许多弱点。 1899 年希尔伯特 《几何基础》，提出了对现代数学影响深远的统一几何学的途径：公理化方法。 希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的三原则： 相容 性、独立性、完备性。 希尔伯特简介。 2、19 世纪的中国数学 西方数学在中国早期传播的第二次高潮是从 19 世纪中叶开始。李善兰、华 蘅芳等为中国近代科学事业的先行者。 2.1 李善兰（清， 1811－1882 年）