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中考压轴题之几何探究型解题技巧
旋转引辅助线法:
方法技巧:
旋转引辅助线法就是在图形具有等邻边特征时,可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点,旋转到另一位置的一种引辅助线方法。
旋转法主要用途是把分散元素通过旋转集中起来,从而为证题创造必要的条件。旋转法常用于等腰三角形、等边三角形、及正方形等具有相等边的图形中。
旋转时要注意确定旋转中心,旋转方向及旋转角度的大小。
经典真题:
1、如图①,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45 °,则有结论EF=BE+FD成立;
(1)如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF是∠BAD的一半,那么结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
解:
(2)若将(1)中的条件改为:在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,延长BC到点E,延长CD到点F,使得∠EAF仍然是∠BAD的一半,则结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
解:
2、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,,BD=DC. 探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系.
图1 图2 图3
( = 1 \* ROMAN I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是 ; 此时 ;
( = 2 \* ROMAN II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想( = 1 \* ROMAN I)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;
( = 3 \* ROMAN III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
若AN=,则Q= (用、L表示).
3、请阅读下列材料:
已知:如图(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB = AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE′,连结E′D,
使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数
量关系式,并对你的猜想给予证明; 图(1)
(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线
段CB延长线上时,如图(2),其它条件
不变,(1)中探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明.
与中点有关的辅助线的添加方法
方法技巧:
①有中线,可延长;②作斜边中线,利用斜边中线性质证题;③有中点,造中位;④有底中点,连中线(造中垂);
⑤倍长中线法造全等三角形;⑥等边三角形三边中点连线造等边三角形。
经典真题:
1、设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点,、F是BC边上一点,线段DE和AF相交于点P,点Q在线段DE上,且AQ//PC.
证明:PC=2AQ;
当点F为BC的中点时,试比较和梯形APCQ面积的大小关系,并对你的结论加以证明。
2、已知:在Rt△ABC中,AB=BC,在Rt△ADE中,AD=DE,连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM.
(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图①,探索BM、DM的关系并给予证明;
(2)如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角,如图②,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.
图②
图②
图①
3、已知正方形ABCD和等腰Rt按图1放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连EG 、CG. (1)探索EG、CG的数量关系,并说明理由; (2)将图1中△BEF绕B 点顺时针旋转得图2,连结DF, 取DF
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