优质课一等奖选修4_4第二讲_参数方程（圆锥曲线的参数方程).ppt

例4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。 A2 A1 B A y x O 证明：设双曲线方程为 取顶点A2(a, 0), 弦AB ∥Ox， ∴弦AB对A1张直角， 同理对A2也张直角． M O y x ·B ·A 例5 已知双曲线， A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P ,求证： ， 解：设A，B坐标分别为 则中点为M 于是线段AB中垂线方程为 将 代入上式,∴ (∵A，B相异)， 例6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。 抛物线的参数方程 M F O Y X A 前面曾经得到以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程: 对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？ 以抛物线的普通方程 为例，其中p为焦点到准线的距离。 设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作α 显然，当α在 内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取α为参数来探求抛物线的参数方程. 因为点M在α的终边上，根据三角函数定义可得 由方程 (α为参数) 这是抛物线(不包括顶点)的参数方程. 如果令 则有 （t为参数） (α为参数) 当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0), 因此，当 时， （t为参数） 就表示整条抛物线．参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． C 练习 例1 如图，O为原点，A,B为抛物线 上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程． 当点A,B在何位置时,ΔAOB面积最小？最小值是多少？ 练习 已知椭圆C1: 及抛物线C2: y2=6(x-3/2)；若C1∩C2≠φ，求m的取值范围。 代入得 cos2φ+4cos φ+2m-1=0 所以 t2+4t+2m-1=0 在[-1, 1]内有解； 3 已知A, B, C是抛物线 y2=2px(p0)上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D, E两点，求证：抛物线的顶点平分DE. 练习 4 经过抛物线y2=2px(p0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。 解：直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为 由y2=2px和y=kx，得 A点坐标为 同理B点坐标(2pk2,-2pk) 5 已知椭圆 上任意一点M，(除短轴端点外)与短轴端点B1, B2的连线分别与x轴交于P, Q两点，O为椭圆的中心，求证：|OP|·|OQ|为定值。 练习 对于一切实数，若 直线 与曲线 恒有公共点，则m的范围是： A B C D 直线恒过 点 当直线与曲线恒有公共点时，必满足 希望提出指导与建议 第二讲 参数方程 圆锥曲线的参数方程 椭圆的参数方程 复习 圆的参数方程 1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程: 2.圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程: 3.椭圆的标准方程： 它的参数方程是什么样的？ M 如图,以原点为圆心,分别以a, b(ab0)为半径作两个圆, 点B是大圆半径OA与小圆的交点, 过点A作AN⊥Ox,垂足为N, 过点B作BM⊥AN,垂足为M, x O y A N B 设以Ox为始边，OA为终边的角为θ， 点M的坐标是(x, y)。 那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。 由于点A, B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有: y＝NM＝ x＝ON＝ 这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。 常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。 在椭圆的参数方程中，通常规定参数θ