第6章-集合代数.pptVIP

例6.3 例6.5 求1到1000之间(包含1和1000在内)既不能被5和6，也不能被8整除的数有多少个。 解答 设 S＝{x|x∈Z∧1≤x≤1000} A＝{ x|x∈S∧x可被5整除} B＝{ x|x∈S∧x可被6整除} C＝{ x|x∈S∧x可被8整除} |T|表示有穷集T中的元素数 ?x?表示小于等于x的最大整数 lcm(x1,x2,…,xn)表示x1,x2,…,xn的最小公倍数 例6.3 |A|＝?1000/5?＝200 |B|＝?1000/6?＝166 |C|＝?1000/8?＝125 |A∩B|＝?1000/lcm(5,6)?＝33 |A∩C|＝?1000/lcm(5,8)?＝25 |B∩C|＝?1000/lcm(6,8)?＝41 |A∩B∩C|＝ ?1000/lcm(5,6,8)?＝8 将这些数字依次填入文氏图，得到 例6.3 根据包含排斥原理，所求不能被5，6和8整除的数应为 由文氏图也可得知，不能被5，6和8整除的数有1000－(200+100＋33＋67)＝600个。 6.3 集合恒等式 下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中A，B，C代表任意集合。 幂等律 A∪A＝A (6.1) A∩A＝A (6.2) 结合律 (A∪B)∪C＝A∪(B∪C) (6.3) (A∩B)∩C＝A∩(B∩C) (6.4) 交换律  A∪B＝B∪A (6.5)  A∩B＝B∩A (6.6) 分配律 A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) (6.7) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C) (6.8) 同一律 A∪?＝A (6.9) A∩E＝A (6.10) 6.3 集合恒等式 零律  A∪E＝E (6.11) A∩?＝? (6.12) 排中律  A∪～A＝E (6.13) 矛盾律  A∩～A＝? (6.14) 吸收律 A∪(A∩B)＝A (6.15) A∩(A∪B)＝A (6.16) 德摩根律 A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C) (6.17) A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C) (6.18) ～(B∪C)＝～B∩～C (6.19)～(B∩C)＝～B∪～C (6.20)～?＝E (6.21)～E＝?  (6.22) 双重否定律 ～(～A)＝A (6.23) 集合运算性质的一些重要结果 A∩B?A，A∩B?B   (6.24) A?A∪B，B?A∪B   (6.25) A－B?A  (6.26) A－B＝A∩～B  (6.27) A∪B＝B ? A?B ? A∩B＝A ? A－B＝? (6.28) A?B＝B?A  (6.29) (A?B)?C＝A?(B?C)  (6.30) A??＝A   (6.31) A?A＝?      (6.32) A?B＝A?C ? B＝C  (6.33) 对偶(dual)原理 对偶(dual)式：一个集合表达式，如果只含有∩、∪、～、?、E、＝、?、?，那么同时把∩与∪互换，把?与E互换，把?与?互换，得到式子称为原式的对偶式。 对欧原理：对偶式同真假。或者说，集合恒等式的对偶式还是恒等式。 集合恒等式的证明方法 逻辑演算法 利用逻辑等值式和推理规则 集合演算法 利用集合恒等式和已知结论 逻辑演算法的格式 题目：A＝B 证明： ?x， x∈A ? … … ? x∈B 所以 A＝B 或证 P?Q ∧ Q?P 题目：A?B 证明： ?x， x∈A ? … … ? x∈B 所以 A?B 集合演算法的格式 题目：A＝B 证明： A ＝ … … ＝ B