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第四节 一、隐函数的导数 例2. 求由方程 例4. 求椭圆 例6. 求 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例7. 设 二、由参数方程确定的函数的导数 若上述参数方程中 例9.已知椭圆的参数方程为 例11. 抛射体运动轨迹的参数方程为 抛射体轨迹的参数方程 例13.设 例14 设由方程 三、相关变化率 例15. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 作 业：P111—112 1(3); 2； 3 (4) ；4（2）;  7(1); 8(2) 备用题 2. 设 * 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 求方程 所确定的隐函数的导 数 解： 方程两边分别对 x 求导数， 所以 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 求由方程 所确定的隐函数 的导数 并求出 写出通过曲线 上 点 的切线方程. 解： 方程两边对 x 求导 解出 得 将 代入 得 解得 所以 点 的切线方程为 即 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求由方程 二阶导数。 确定的隐函数的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解： 方程两边分别对 x 求导数， 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练：求由方程 所确定的 隐函数的导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对数求导法： 对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法 求导简便些. 1) 对幂指函数 都可导. 两边取对数(化成了隐函数), 然后按隐函数求导法 求出 的导数. 即 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 两边取对数 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 x 求导 两边取对数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求导数。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习 设 求 解： 两边取对数得 方程两边分别对 x 求导数， 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶可导, 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8 已知椭圆的直角坐标方程为 求 及 写出椭圆的参数方程； 解： 椭圆的参数方程为： 为求 列出参数方程： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求椭圆在 相应的点处的切线方程。 解: 当 时， 椭圆上的对应点为 此点切线斜率为： 切线方程为： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10 设曲线 方程为 当 时所对应的点 与法线方程； 解： 求曲线 处的切线方程 看成为 是 如果把曲线 的函数， 求 点的坐标为： 点切线斜率为： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处的 即 切线方程为: 即 法线方程为: 看成为 是 如果把曲线 的函数， 则 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 垂直分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 ? 为切线倾角, 则