考点25利用空间向量求解立体几何中的角与距离2016届高三数学（理）33个黄金考点总动员（原卷版）.pdf

Go the distance 【考点剖析】 1.必威体育精装版考试说明： 1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的有关命题． 4.能用向量方法解决两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的计算问题，了解向量方法在研究立 体几何问题中的应用. 2.命题方向预测： 利用向量法求空间角的大小是命题的热点．着重考查学生建立空间坐标系及空间向量坐标运算的能力．题 型多为解答题，难度中档. 3.课本结论总结： 一种方法 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b，c}； (2)用a ，b，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题． 两个理解 (1)共线向量定理还可以有以下几种形式： ①a ＝λb⇒a ∥b ； ②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R 使λa＝μb. → → → → → ③若OA，OB不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP＝λOA＋μOB且λ＋μ＝1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选 取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具， 三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美 “嫁接”． 四种运算 空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学 习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学 习． Go the distance 三种成角 (1)异面直线所成的角的范围是0，π；  2 (2)直线与平面所成角的范围是0，π；  2 (3)二面角的范围是[0，π]． 4.名师二级结论： １．夹角计算公式 (1)线线角：直线与直线所成的角θ，如两直线的方向向量分别为a，b，则cos＝| cos〈a，b〉| . (2)线面角：直线与平面所成的角θ，如直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin＝| cos〈a，n〉| . (3)面面角：两相交平面所成的角θ，两平面的法向量分别为n ，n ，则cos θ＝|cos 〈n ，n 〉|.判定二面 1 2 1 2 角的平面角是锐角还是钝角的情况来决定cos θ＝|cos 〈n ，n 〉|还是cos θ＝－|cos 〈n ，n 〉|. 1 2 1 2 ２．距离公式 (1)点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模； (2)点线距：点M 到直线a 的距离，如直线的方向向量为a，直线上任一点为N，则点M 到直线a 的距离d → → ＝|MN|sin 〈MN，a〉； (3)线线距：两平行线间的距离，转化为点线距离；两异面直线间的距离，转化为点面距离或者直接求公 垂线段的长度； (4)点面距：点M 到平面α的距离：如平面α的法向量为n，平面α内任一点为N，则点M 到平面α的距离d → → → |MN ·n| ＝|MN||cos 〈MN，n〉|＝ ； |n| (5)线面距：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离； (6)面面距：两平行平面间的距离，转化为点面距离. 5.课本经典习题： (1)新课标人教A 版 选修2-1 第 109 页，例题 4 如图3.2-7,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形, 侧棱PD 底面ABCD,PD=DC,点E 是PC 的中点,作EF PB 交PB 于点F.