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* 第二节 偏导数 偏导数的定义及其计算法 偏导数存在与连续的关系 高阶偏导数 小结、作业 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。 对于多元函数，同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念。 一、偏导数的定义及其计算法 如 在 处 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 一般地 设 下面讨论 偏导数的计算方法 可以看出: 定义 时, 变量 y 是不变的, 实际上, 是对函数 , 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元 函数导数的定义进行的： 实质上是 哇！爽！ 求多元函数的偏导数 相应的一元函数的导数. 实质上是求 忘记了, 请赶快复习一下. 如果一元函数的求导方法和公式 多元函数的偏导数的计算方法, 没有任何技术性的新东西. 求偏导数时,只要将 n 个自变量 中的某一个看成变量,其余的 n－1个 自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进行计算即可 . 解法一 解法二 解法三 将 y 看成常数 将 x 看成常数 例 解 将 y 看成常数时, 是对幂函数求导. 将 x 看成常数时, 是对指数函数求导. 例 解 例 解 例 解 注 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。 证 警告各位！ 偏导数的符号 是一个整体记号, 与 的商. 不能像一元函数那样将 看成是 x y z O . . 偏导数的几何意义 二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续. 偏导数的几何意义说明了一个问题: 二、 偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 由 k 的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在, 解 但是 反之 解答 不能. 例如, 对多元函数来说,函数的偏导数 存在与否与函数的连续性无必然关系. 这是多元函数与一元函数的 一个本质区别. 想想是什么问题 ? 三、高阶偏导数 纯偏导 混合偏导