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第四章 多自由度系统的振动 大部分实际系统都是多自由度系统，其中的一类，系统本身为近似的集中参数系统，可以简化为多自由度系统，另一类是将分布参数系统通过一定的建模方法简化得到的。本章只学习线性多自由度系统的分析方法和基本规律，解决问题的基本方法是模态叠加法，就是将n自由度系统分解成 n 个单自由度系统，每个单自由度系统对应于原系统的一种特定的振动形态（即模态），将各个单自由度系统的振动叠加便得到原系统的振动。因此，本章的学习重点是要理解和掌握模态的求解和使用。 §4.1 多自由度系统的动力学方程 §4.2 无阻尼系统的自由振动与模态1. 自由振动与模态的产生 §4.3 振动分析的模态叠加法 §4.4 无阻尼系统的强迫振动响应 1. 简谐激励响应 例4.4 求图示系统的稳态受迫振动。 2. 瞬态响应 §4.5 阻尼系统及其求解 1.阻尼的结构、系统动力学方程 2. 响应的求解方法 §4.6 模态问题的一些特殊情况 1. 等固有频率（重特征值）的情形 2. 固有频率随系统参数的变化 3. 约束对固有频率的影响 4.7 传递矩阵法 1. 轴的扭转振动 2. 梁的横向振动 最后来求系统对应于初始扰动的响应。设系统的初始条件为：当 t = 0时，有 (4.67) (4.68) (4.69) (4.70) 当特征值均为单根时，n 维系统有 n 个线性无关特征向量，它们构成 n 维线性系统的完备解耦基。 当特征方程出现重根时，对应的特征向量不能唯一确定。比如，设特征方程有二重根 l1 = l2 = lr ，对应的特征向量为 f (1) 与 f (2) ，所以 现在的问题是：当 r 重根对应于 r 个线性无关的特征向量时，如何选定这 r 个线性无关的特征向量？回答是应按正交性 条件来选取，即所选定的特征向量必须满足M、K的正交条件。 举例说明如下：如图4.1系统，质量和刚度矩阵为 容易确定对应于 l1 、 l4 的特征向量为： m 图4.1 可见结果完全正确。 研究固有频率随参数的变化规律，目的是寻找系统的动态设计和改进振动系统的方法。设系统的特征值问题为 假定质量、刚度矩阵随参数 s 变化，上式对 s 求偏导数 (4.71) 假定振型已经正则化，即 (4.72) 这就是固有频率随参数的变化规律，它实际上是固有频率的参数灵敏度。如果系统有多个参数可以调整，通过计算和比较灵敏度的大小，可知道调整哪些参数更有效。 例4.6 图示为发动机的扭振模型。各个 J 为转动惯量，各个k 为轴的扭转刚度；具体值见下表。考察二阶固有频率对各个J和k的灵敏度。 例4.6图 1.10 5 1.00 0.30 4 0.25 0.50 3 0.50 0.10 2 1.00 0.10 1 kj / 105 Nm/rad Jj / kgm2 下标 j 解：系统的质量、刚度矩阵为 求得系统的固有频率和振型矩阵为 根据灵敏度公式(4.72)可得， 6.05 ?10 5 1.06 ?10-4 1.63 ?10 4 3.33 ?10-3 1.70 ?102 3 9.22 ?10-5 2.52 ?102 2 6.02 ?10-6 2.75?102 1 [rad/s]/[Nm/rad] [rad/s]/kgm2 下标 i 灵敏度的计算结果如下表： 多自由度系统加上约束后，固有频率会发生相应的变化，现在来定性考察这一问题。设系统已经解耦成正则坐标形式： 现在假设对正则坐标集加上一个线性约束 (4.73) (4.74) 原方程(4.73)变成 对应的特征值方程为 这是一个关于 w2 的n – 1次多项式求根问题，它有n – 1个根，为了判断这n – 1个根的值，我们来考察D(wi)，i = 1, …, n。 上式第一行元素乘以(－ci / c1)再加到第i行上去，可得 假设n 个固有频率已经安递增次序排列 那么以上各个D(wi)的正负号刚好是交替出现的。这表明 wi 与 wi+1 之间有D(w) ＝0 的一个根，因此约束后系统的n – 1个特征根（固有频率）镶嵌在原系统的n 个固有频率之间。如图6.3所示。 D(w1) D(w2) ……. D(w) w w1 w2 w3 wn-1 wn 约束系统的 n ? 1个固有频率 图4.2 D(wn-1) D(wn) 传递矩阵法是链式结构动力学建模的一种离散集结方法，可以用来计算模态振动。多盘扭振系统的建模方法如下： 将图5.1的整体系统分割成结构形式相同的两端单元，如图5.2。将盘视为刚性质量元件、轴段视为柔性无质量元件。无质量轴段的扭转运动取决于轴段两端的转角和扭矩，因此取各元件的转角和扭矩作为状态变量 由广义坐标方程（