- 1、本文档共28页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
* * 复合函数求偏导 一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性 一、复合函数的链式法则 设z=f(u,v)是变量u,v的函数,而u,v又是x,y的 函数,即 ,如果能构成z是x ,y的 二元复合函数 如何求出函数z对自变量x,y的偏导数呢? 定理8.5 设函数 在点(x,y)处有偏 导数,而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数,则 复合函数 在点(x,y)处的偏导数 存在,且有下面的链式法则: 复合函数的结构图是 公式(1)给出z对x的偏导数是 公式(*)与结构图两者之间的对应关系是:偏导数 是由两项组成的,每项又是两个偏导数的乘积,公式(*)的这两条规律,可以通过函数的结构图得到,即 (1)公式(*)的项数,等于结构图中自变量x到达z路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条.第一条是 ,第二条是 ,所以公式(*)由两项组成. (2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 , 有一个函数z和一个中间变量u,因此,第一项就是两 个偏导数 与 的乘积. 复合函数结构虽然是多种多样,求复合函数的偏导数公式也不完全相同,但借助函数的结构图,运用上面的法则,可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一法则通常形象地称为链式法则. 下面借助于函数的结构图,利用链式法则定出偏导数公式. 1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数,而 都有偏导数,求复合函数 的偏导数 . 由结构图看出自变量x到达z的路径有三条,因此 由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变 量,所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应 自变量的偏导数乘积,即 同理可得到, 2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数,而 都有偏导数,求复合函数 的偏导数 . 借助于结构图,可得 3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数,而 可导,则复合函数 只是自变量x的函数, 求z对x的导数 . 可得 在这里,函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的一元复合函数.因此,z对x的导数 又称为z对x的全导数.对公式(5)应注意,由于z,u,v这三个函数都是x 的一元函数,故对x的导数应写成 ,而不能写成 . 公式(5)是公式(2)的特殊情形,两个函数u,v的自变量都缩减为一个,即公式(2)就变成 (5).更特殊地,如果函数z不含v,只是u的函数,于是公式(5)变成 这正是一元复合函数的求导公式. 4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数, 有偏导数,求复合函数 的偏导数 . 自变量x到达z的路径有二条,第一路径上只有一个函数,即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自变量y到达z的路径只有一条,于是 的偏导数公式应是: 注意: 这里的 与 是代表不同的意义.其中 是将函数 中的y看作常量而对自变量x求偏导数,而 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一个位置变量x求偏导数,所以两者的含意不同,为了避免混淆,将公式(6)右端第一项写 ,而不写为 . 例1 设 求 解法1 得 解法2 对于具体的二元复合函数,可将中间变量u,v,用x,y代入,则得到 ,z 是x,y二元复合函数,根据复合函数的链式法则,得 例2 设 ,其中f(u
文档评论(0)