复合函数求偏导解读.pptVIP

* * 复合函数求偏导 一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性 一、复合函数的链式法则 设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 函数，即 ，如果能构成z是x ,y的 二元复合函数 如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？ 定理8.5 设函数 在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 在点(x,y)处的偏导数 存在，且有下面的链式法则： 复合函数的结构图是 公式(1)给出z对x的偏导数是 公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即 (1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条.第一条是 ，第二条是 ，所以公式(*)由两项组成. (2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 , 有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 个偏导数 与 的乘积. 复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一法则通常形象地称为链式法则. 下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏导数公式. 1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数，而 都有偏导数，求复合函数 的偏导数 . 由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变 量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应 自变量的偏导数乘积，即 同理可得到， 2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 都有偏导数，求复合函数 的偏导数 . 借助于结构图，可得 3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 可导，则复合函数 只是自变量x的函数， 求z对x的导数 . 可得 在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的一元复合函数.因此，z对x的导数 又称为z对x的全导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x 的一元函数，故对x的导数应写成 ，而不能写成 . 公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自变量都缩减为一个，即公式(2)就变成 (5).更特殊地，如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成 这正是一元复合函数的求导公式. 4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数， 有偏导数，求复合函数 的偏导数 . 自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自变量y到达z的路径只有一条，于是 的偏导数公式应是： 注意： 这里的 与 是代表不同的意义.其中 是将函数 中的y看作常量而对自变量x求偏导数，而 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避免混淆，将公式(6)右端第一项写 ，而不写为 . 例1 设 求 解法1 得 解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v，用x，y代入，则得到 ，z 是x，y二元复合函数，根据复合函数的链式法则，得 例2 设 ，其中f(u