第1讲：数形结合法与数学建模思想(初三)-2015.docVIP

决胜中考—2015 九数(春季班）数学思维训练 PAGE PAGE 1 没有比脚更长的路，没有比人更高的山，老师助你走向人生的辉煌！ 数形结合法与数学建模思想 ★1 数形结合法：是数学中的重要思想方法之一，特点是通过几何图形、函数图像更直观的展示位置关系与数量关系；求解这类问题的关键是把“形”、“数”相结合与相互转化。在初中学习范围内十分重要，它为高中、大学等后续学习奠定基础，也是中考每年必考的一种思想方法，涉及的题型、题量的分值配备高达30多分。 ★2 数学建模：是初中数学中解决一些同类变式题型的基本方法，广泛应用于三角函数、列方程解应用题、相似三角形、图形变换等知识，加强对常见数学模型的识记，有助于学生对所学知识进行系统归类，增强识图与应用数学的能力。 ★★3 数形结合法在初中范围内的运用 ★1、代数问题通过构造几何图形给予解决 【例1】当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ； 【例2】已知，，,且＋恒成立，则的最小值等于 【例3】请计算：（1）、tan= (2)、sin= 【例4】如图,为线段上一动点,分别过点、作，，连接、，已知,,,设。 (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时, 的值最小? EDCB E D C B A ◎ 变式议练一： 1、若，，且，则有理数，，，的大小关系是 ； 2、在平面直角坐标系中，已知A(-1，-2), B(4,2), C(1,m),当m= 时，CA+CB有最小值。 3、 4、函数的最小值是 ★★2、几何问题的代数解法 【例5】将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图 方式排列，则图中阴影部分的面积为 ． 【例6】⊙是的内切圆，与边、、的切点分别为、、，,，,则 ， ， 。 ◎ 变式议练二： 1、的斜边为13，面积为30，则两直角边的和等于 。 2、已知AB是半径为1的⊙的弦，AB的长是方程：的一个根，则∠AOB的度数是 。 ★★★3 在平面直角坐标系中的广泛运用 【例7】（黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足． （1）求点、点的坐标． （2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例8】已知点A,C都在双曲线：上，点B,D都在x轴上，⊿AOB,⊿BCD都是等边三角形，则点D 的坐标是 ◎ 变式议练三： 关于x的方程：有且只有两个不同实根，则a的取值范围是 ★★★★4 初中数学常见数学模型及其运用 ★ 基本模型1： 等腰三角形中，为底边上任意一点，，，。 结论： 证明思路：（1）面积恒等法 （2）截长补短法 【例9】在中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角形按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。 （1）在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，让后证明你的猜想； （2）当三角尺沿AC方向平移到如图位置时，一条仍与AC在一条直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E，此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE、DF与CG之间满足的数量关系，让后证明你的猜想； （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到如图所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否成立？ ◎ 变式练习四： 1、等边三角形边长为4，则该三角形内任意一点到三边的距离之和为 。 2、如图：在矩形中，已知，， 是边上任意一点，于， 于，那么的值为 ； ★基本模型2：“”型，“”型，斜射影模型 若： 若： 若： 则： ； 则： ； 则： ； 【例10】（重庆）如图：正方形中，是延长线上的一点，交于，交对角线于，如，。求的长。 【例11】如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上， DE⊥EB。 （1）求证：AC是△BD