高等数学第六版可降阶高阶微分方程.pptVIP

第五节 一、 例1. 二、 例2. 求解 三、 例3. 求解 例4. 解初值问题 内容小结 思考与练习 * 可降阶高阶微分方程(10) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 二、 三、 第十二章 型的微分方程 型的微分方程 型的微分方程 此方程的特点是方程右端仅含自变量x. 方程两边积分一次得: 通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的方程的通解 . 型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶微分方程的一般形式为: 即为: 本节讨论三种可降阶的二阶方程的解法. 方程两边再积分一次得: 对于n阶方程 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型的微分方程 为降阶, 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此方程的特点是方程右端不显含未知函数 y . 解: 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型的微分方程 为降阶, 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此方程的特点是方程右端不显含自变量 x . 代入方程得 两端积分得 (一阶线性齐次方程) 故所求通解为 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 解: 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 积分得 故所求特解为 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分降阶法 令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 变量代换降阶法 1. 方程 如何代换求解 ? 答: 令 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如, 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号. 例6 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 12.6 1(1) ~ (3) ; 2(1),(2) * * * * *